はさみうちの原理1

2017年12月12日

はさみうちの原理の問題です。高校の教科書では証明されていないので、「定理」ではなく「原理」です。まずは、ガウス記号が絡んだものから。

1.(北海道大)
次の数列の極限値を求めよ.ただし,[x]xを超えない最大の整数を表すものとする.
(1) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{\left[\dfrac{n}{3}\right]}{n}
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\left(\sqrt{n^2+\left[\dfrac{n}{3}\right]}-n\right)
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\sin\left(2\pi\sqrt{n^2+\left[\dfrac{n}{3}\right]}\right)

2.(慶応大)
実数\alphaに対して\alphaを超えない最大の整数を[\alpha]とかく.[~~]をガウス記号という.
(1) 自然数mの桁数kをガウス記号を用いて表すとk=[(~~~~~)]である.
(2) 自然数nに対して3^nの桁数をk_nで表すと\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{k_n}{n}=(~~~~~)である.

解答

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