はさみうちの原理2

1の続きです。よく出てくる極限を求めてみましょう。

1.
(1) hを正の数とするとき,任意の自然数nに対して次の不等式が成り立つことを証明せよ.
(1+h)^n \geqq 1+nh+\dfrac{n(n-1)}{2}h^2
(2) aa>1である実数とするとき,等式\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{n}{a^n}=0を証明せよ.
(3) r|r|<1である実数とするとき,等式\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}nr^{n}=0を証明せよ.

2.(京都産業大)
nを正の整数とする.
(1) n^{\frac{1}{n}}<1+\sqrt{\dfrac{2}{n}}が成り立つことを証明せよ.
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}n^{\frac{1}{n}}の値を求めよ.

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