はさみうちの原理3

2017年1月16日

2の続きです。

1.(広島大)
a,~bは,0<a<bをみたす定数とし,nを自然数とする.
(1) 不等式n\log_2 b<\log_2 (a^n+b^n)<n\log_2 b+1が成り立つことを証明せよ.
(2) 極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{a^n+b^n}を求めよ.

2.(東京理科大)
関数f(x)~(x>0)
f(x)=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{(7x+6)^n+(9x)^n}
により定める.「正の実数aに対して\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{a}=1」ということなどから,0<x \leqq (~~~~~)のときはf(x)=(~~~~~)x+(~~~~~)であり,x>(~~~~~)のときはf(x)=(~~~~~)x+(~~~~~)であることがわかる.

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