はさみうちの原理３

2017年1月15日2017年1月16日

2の続きです。

１．(広島大)
$a,~b$ は， $0<a<b$ をみたす定数とし， $n$ を自然数とする．
(1) 不等式 $n\log_2 b<\log_2 (a^n+b^n)<n\log_2 b+1$ が成り立つことを証明せよ．
(2) 極限値 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{a^n+b^n}$ を求めよ．

２．(東京理科大)
関数 $f(x)~(x>0)$ を
$f(x)=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{(7x+6)^n+(9x)^n}$
により定める．「正の実数 $a$ に対して $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{a}=1$ 」ということなどから， $0<x \leqq (~~~~~)$ のときは $f(x)=(~~~~~)x+(~~~~~)$ であり， $x>(~~~~~)$ のときは $f(x)=(~~~~~)x+(~~~~~)$ であることがわかる．