e (ネイピアの数)

2017年12月12日

自然対数の底e (ネイピアの数)の問題です。まずはeの近似値を求める問題を2つ。

1.(高知大)
n,~k1 \leqq k \leqq nを満たす整数であり,
a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
とおく.
(1) n \geqq 2のとき,2<a_n<2+\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}}\dfrac{1}{k!}が成り立つことを示せ.
(2) n \geqq 2のとき,\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}}\dfrac{1}{k!}<1が成り立つことを示せ.

2.(南山大)
\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n (nは正の整数)は自然対数の底eに収束する.このeの近似値を求める計算について考える.ただし,0!=1である.
(1) _n\mbox{C}_3\left(\dfrac{1}{n}\right)^3=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\dfrac{1}{3!}となることを示せ.
(2) 0以上n以下の整数kに対し,_n\mbox{C}_k\left(\dfrac{1}{n}\right)^k \leqq \dfrac{1}{k!}が成立することを示せ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}{_n\mbox{C}_k}\left(\dfrac{1}{n}\right)^k=\dfrac{1}{k!}が成立することを示せ.
(4) e'=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\displaystyle{\sum_{k=0}^{6}}{_n\mbox{C}_k}\left(\dfrac{1}{n}\right)^kとおく.(3)を用いて,e'の近似値を小数点以下第4位を四捨五入して小数点以下第3位まで求めよ.
(5) k \geqq 7のとき,k! \geqq 7! \cdot 8^{k-7}が成立する.これと(2)を用いて,7以上のどのnに対しても\displaystyle{\sum_{k=7}^{n}}{_n\mbox{C}_k}\left(\dfrac{1}{n}\right)^k<0.0003が成立することを示せ.さらに,(4)のe'に対して,0<e-e'<0.0003を示せ.

次にeの定義を利用して極限値を求める問題を2つ。

3.((1) 関西大 (2) 東京都市大)
(1) a,~bを正の数とするとき,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\log\left(1+\dfrac{a+b}{n}+\dfrac{ab}{n^2}\right)^nを求めよ.
(2) a_n=\dfrac{n^n}{n!}とおくとき,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}を求めよ.必要ならば,\displaystyle{\lim_{h \to 0}}(1+h)^{\frac{1}{h}}=eを用いてよい.

4.(京都大)
nを2以上の自然数とする.x^{2n}x^2-x+\dfrac{n-1}{n^2}で割った余りをa_nx+b_nとする.すなわち,xの多項式P_n(x)があって
x^{2n}=P_n(x)\left(x^2-x+\dfrac{n-1}{n^2}\right)+a_nx+b_n
が成り立っているとする.\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n,~\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}b_nを求めよ.

解答

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