a^nの極限１

2017年1月15日

次に $a^n$ の極限の問題です。

１．(京都大)
$a$ が正の実数のとき $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(1+a^n)^{\frac{1}{n}}$ を求めよ．

２．(大阪市立大)
(1) $\alpha \geqq 0,~0 \leqq x \leqq 1$ かつ $n$ を自然数とするとき $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{1+\alpha x^n}$ を求めよ．
(2) $a,~b,~p,~q$ を正の数とし， $n$ を自然数とするとき $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{pa^n+qb^n}$ を求めよ．

３．((1), (2) 弘前大)
(1) $r$ を正の定数とする．極限値 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{r^{n-1}-3^{n+1}}{r^n+3^{n-1}}$ を求めよ．
(2) $f(x)=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{(x-4)^{2n+1}}{1+(x-1)^{2n}}$ を求めよ．ただし， $x$ は実数とする．

４．(静岡大)
$x$ の関数 $f(x)=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{x^n+2x+1}{x^{n-1}+1}$ のグラフをかけ．

５．(名城大)
数列 $\{a_n(x)\}$ は $a_n(x)=\dfrac{\sin^{2n+1}x}{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}~(0 \leqq x \leqq \pi)$ で定められたものとする．
(1) この数列の極限値 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n(x)$ を求めよ．
(2) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n(x)$ を $A(x)$ とおくとき，関数 $y=A(x)$ のグラフを図示せよ．

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Posted by 山彦のフドウ

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