a^nの極限1

次にa^nの極限の問題です。

1.(京都大)
aが正の実数のとき\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(1+a^n)^{\frac{1}{n}}を求めよ.

2.(大阪市立大)
(1) \alpha \geqq 0,~0 \leqq x \leqq 1かつnを自然数とするとき\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{1+\alpha x^n}を求めよ.
(2) a,~b,~p,~qを正の数とし,nを自然数とするとき\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{pa^n+qb^n}を求めよ.

3.((1), (2) 弘前大)
(1) rを正の定数とする.極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{r^{n-1}-3^{n+1}}{r^n+3^{n-1}}を求めよ.
(2) f(x)=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{(x-4)^{2n+1}}{1+(x-1)^{2n}}を求めよ.ただし,xは実数とする.

4.(静岡大)
xの関数f(x)=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{x^n+2x+1}{x^{n-1}+1}のグラフをかけ.

5.(名城大)
数列\{a_n(x)\}a_n(x)=\dfrac{\sin^{2n+1}x}{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}~(0 \leqq x \leqq \pi)で定められたものとする.
(1) この数列の極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n(x)を求めよ.
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n(x)A(x)とおくとき,関数y=A(x)のグラフを図示せよ.

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