a^nの極限2

2017年12月12日

1の続きです。

1.(南山大)
実数rにより,数列\{a_n\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
a_n=\dfrac{1}{2^n}\{_n\mbox{C}_0(1+1)+_n\mbox{C}_1(1+r)+_n\mbox{C}_2(1+r^2)+\cdots+_n\mbox{C}_n(1+r^n)\}
で定義する.ここで,_n\mbox{C}_k~(k=0,~1,~2,~\cdots,~n)は二項係数である.r=1のとき,a_nの値を求めよ.また,r \ne 1のとき\{a_n\}が収束するrの値の範囲を求めよ.

2.(大阪大)
nを自然数とする.
(1) 4^n-1が15の倍数となるようなnをすべて求めよ.
(2) (1)で求めたnを小さい順に並べた数列をa_1,~a_2,~\cdotsとする.自然数kに対して
A_k=\{x~|~xはa_k \leqq \log_4 x \leqq a_{k+1}を満たす自然数\}
とするとき,A_kに属する3の倍数の和S_kを求めよ.
(3) \displaystyle{\lim_{k \to \infty}}\dfrac{S_k}{4^{4k}}を求めよ.

解答

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