a^nの極限２

2017年12月12日

１の続きです。

１．(南山大)
実数rにより，数列\{a_n\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)を
a_n=\dfrac{1}{2^n}\{_n\mbox{C}_0(1+1)+_n\mbox{C}_1(1+r)+_n\mbox{C}_2(1+r^2)+\cdots+_n\mbox{C}_n(1+r^n)\}
で定義する．ここで，_n\mbox{C}_k~(k=0,~1,~2,~\cdots,~n)は二項係数である．r=1のとき，a_nの値を求めよ．また，r \ne 1のとき\{a_n\}が収束するrの値の範囲を求めよ．

２．(大阪大)
nを自然数とする．
(1) 4^n-1が15の倍数となるようなnをすべて求めよ．
(2) (1)で求めたnを小さい順に並べた数列をa_1,~a_2,~\cdotsとする．自然数kに対して
A_k=\{x~|~xはa_k \leqq \log_4 x \leqq a_{k+1}を満たす自然数\}
とするとき，A_kに属する3の倍数の和S_kを求めよ．
(3) \displaystyle{\lim_{k \to \infty}}\dfrac{S_k}{4^{4k}}を求めよ．

→解答

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数学Ⅲ　数列の極限a^nの極限

Posted by 山彦のフドウ