極限の応用1

2017年12月12日

整数問題と極限の問題です。

1.(京都工繊大)
mを自然数とし,Nm以上の自然数とする.
(1) mの倍数のうちN以下の最大のものをkm (kは自然数)と表すとき,不等式\dfrac{N}{m}-1 < k \leqq \dfrac{N}{m}が成り立つことを示せ.
(2) mの倍数のうち1以上N以下のものすべての和をS(N)で表す.極限\displaystyle{\lim_{N \to \infty}}\dfrac{S(N)}{N^2}を求めよ.

解答

2.(東京工業大)
nを正の整数とする.10進法で表したn!について,1の位から10^{m-1}の位までの数字がすべて0で,10^mの位の数字が0でないとき,関数f(n)の値をmとする.このとき,次の値を求めよ.
(1) f(10),~f(100)
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{f(10^n)}{10^n}

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