極限の応用１

2017年1月15日2017年12月12日

整数問題と極限の問題です。

１．(京都工繊大)
$m$ を自然数とし， $N$ を $m$ 以上の自然数とする．
(1) $m$ の倍数のうち $N$ 以下の最大のものを $km$ ( $k$ は自然数)と表すとき，不等式 $\dfrac{N}{m}-1 < k \leqq \dfrac{N}{m}$ が成り立つことを示せ．
(2) $m$ の倍数のうち1以上 $N$ 以下のものすべての和を $S(N)$ で表す．極限 $\displaystyle{\lim_{N \to \infty}}\dfrac{S(N)}{N^2}$ を求めよ．

→解答

２．(東京工業大)
$n$ を正の整数とする．10進法で表した $n!$ について，1の位から $10^{m-1}$ の位までの数字がすべて0で， $10^m$ の位の数字が0でないとき，関数 $f(n)$ の値を $m$ とする．このとき，次の値を求めよ．
(1) $f(10),~f(100)$
(2) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{f(10^n)}{10^n}$

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Posted by 山彦のフドウ

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