極限の応用2

2017年12月12日

2次方程式と極限の問題です。

1.(東北大)
b|b| \geqq 3を満たす整数とする.2次方程式x^2+bx+1=0の解を\alpha,~\betaとする.
(1) 0以上のすべての整数nに対して\alpha^n+\beta^nは整数であることを示せ.
(2) |\alpha|>|\beta|とする.\alpha^nから最も近い整数と\alpha^nとの差をd_nとする.極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}d_nを求めよ.

解答

2.(九州大)
pqはともに整数であるとする.2次方程式x^2+px+q=0が実数解\alpha,~\betaをもち,条件(|\alpha|-1)(|\beta|-1) \ne 0を満たしているとする.このとき,数列\{a_n\}a_n=(\alpha^n-1)(\beta^n-1)~(n=1,~2,~\cdots)によって定義する.
(1) a_1,~a_2,~a_3は整数であることを示せ.
(2) (|\alpha|-1)(|\beta|-1)>0のとき,極限値\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|は整数であることを示せ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}となるとき,pqの値をすべて求めよ.ただし,\sqrt{5}が無理数であることは証明なしに用いてよい.

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