極限の応用3

2017年12月12日

群数列と極限の問題です。

1.(関西学院大)
1,~2,~2,~3,~3,~3,~4,~4,~4,~4,~\cdotskk(k=1,~2,~3,~\cdots)ずつ続く数列である.この数列の第n項をa_nと表す.
(1) a_n=kとなるようなnの範囲をkを用いて表し,a_{100}の値を求めよ.
(2) {\displaystyle\sum_{n=1}^{100}}a_nの値を求めよ.
(3) 初項から第100項a_{100}までの間に,偶数が何個現れるか答えよ.ただし,同じ数が繰り返し現れる場合は重複して数える.例えば,初項から第8項までの間には偶数が4個現れる.
(4) 上の(1)で求めた不等式を用いて{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{\sqrt{n}}を求めよ.

解答

2.(近畿大)
1から始まる連続した自然数の列を次のように群に分ける.第n群に含まれる自然数の個数はn^2である.
\{1\},\{2,~3,~4,~5\},~\{6,~7,~8,~9,~10,~11,~12,~13,~14\},~\cdots
(1) 第21群の最初の数は(  )である.第12群の100番目の数は(  )である.
(2) 1999は第(  )群の(  )番目の数である.
(3) 第n群の最初の数をa_nとすると\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{n^3}=(~~~~~)である.また,第n群に含まれるすべての数の和をS_nとすると,ある自然数kについて数列\left\{\dfrac{S_n}{n^k}\right\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)n \to \inftyのとき収束する.このようなkのうち最小のものはk=(~~~~~)であり,このkの値に対して\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{S_n}{n^k}=(~~~~~)となる.

3.(関西学院大)
1,~4,~4,~9,~9,~9,~16,~16,~16,~16,~\cdotsk^2k個~(k=1,~2,~3,~\cdots)ずつ続く数列である.この数列の第n項をa_nと表す.a_n=25となるようなnの範囲は( ア )\leqq n \leqq( イ )である.一般にa_n=k^2となるnの範囲をkで表すと( ウ )\leqq n \leqq( エ )…(*)である.したがって,a_{50}=( オ ), \displaystyle{\sum_{k=1}^{50}}a_n=( カ )である.初項a_1から第50項a_{50}までのうち,9の倍数は( キ )項ある.( ウ ), ( エ )はともにkの多項式で次数は等しい.その次数をpとする.a_n=k^2とすると,n \to \infty,したがってk \to \inftyのとき,(*)より\dfrac{n}{k^p}の極限値は( ク )である.したがって,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{n^q}q=( ケ )のとき0でない極限値( コ )をもつ.

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