極限の応用4

2017年12月12日

ガウス記号と極限の問題です。

1.(東洋大)
自然数kに対して\sqrt{k}の整数部分をf(k)とし,自然数nに対してS(n)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n^2}}f(k)とおく.
(1) S(4)を求めよ.
(2) S(n)を求めよ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n^3}\displaystyle{\sum_{k=1}^{n^2}}\sqrt{k}を求めよ.

解答

2.(横浜国立大)
実数xに対して,l \leqq x<l+1を満たす整数l[x]と表す.数列\{a_n\}a_n=\dfrac{n}{[\sqrt{n}]}~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定め,S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}a_kとおく.
(1) S_3,~S_8を求めよ.
(2) S_{m^2-1}~(m=2,~3,~4,~\cdots)mの式で表せ.
(3) 数列\left\{\dfrac{S_n}{n^{\frac{3}{2}}}\right\}が収束することを示し,その極限値を求めよ.

3.(東京工業大)
aを正の整数とする.正の実数xについての方程式
(*) x=\left[\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x}\right)\right]
が解を持たないようなaを小さい順に並べたものをa_1,~a_2,~a_3,~\cdotsとする.ここに[~~]はガウス記号で,実数[u]に対し,[u]u以下の最大の整数を表す.
(1) a=7,~8,~9の各々について(*)の解があるかどうかを判定し,ある場合は解xを求めよ.
(2) a_1,~a_2を求めよ.
(3) \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{1}{a_n}を求めよ.

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