極限の応用5

2017年12月12日

格子点と極限の問題です。

1.(神戸大)
座標平面上の点(p,q)で,pqがともに整数であるものを格子点という.
(1) 自然数nに対し,p+2q=n,~p>0,~q>0を満たす格子点(p,q)の個数をa_nとする.a_nを求めよ.
(2) 自然数nに対し,p+2q<n,~p>0,~q>0を満たす格子点(p,q)の個数をb_nとする.b_nを求めよ.
(3) 極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{n^2}\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{b_n}{n^2}を求めよ.

2.(早稲田大)
nを正の整数とし,y=n-x^2で表されるグラフとx軸とで囲まれる領域を考える.この領域の内部および周に含まれ,x,~y座標の値がともに整数である点の個数をa(n)とする.
(1) a(5)を求めよ.
(2) \sqrt{n}を超えない最大の整数をkとする.a(n)knの多項式で表せ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a(n)}{\sqrt{n^3}}を求めよ.

解答

3.(京都大)
a,~mは自然数でaは定数とする.xy平面上の点(a,m)を頂点とし,原点と点(2a,0)を通る放物線を考える.この放物線とx軸で囲まれる領域の面積をS_m,この領域の内部および境界線上にある格子点の数をL_mとする.このとき極限値\displaystyle{\lim_{m \to \infty}}\dfrac{L_m}{S_m}を求めよ.ただしxy平面上の格子点とはその点のx座標とy座標がともに整数となる点のことである.

4.(会津大)
座標平面上の点であって,x座標,y座標とも整数であるものを格子点と呼ぶ.0以上の整数nに対して,不等式|x|+|y| \leqq nを満たす格子点(x,y)の個数をa_nとおく.さらに,b_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}a_kとおく.
(1) a_nを求めよ.
(2) b_nを求めよ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{b_n}{n^3}を求めよ.

5.(東京大)
nを正の整数とする.連立不等式\left\{\begin{array}{l} x+y+z \leqq n\\ -x+y-z \leqq n\\ x-y-z \leqq n\\ -x-y+z \leqq n \end{array}\right.を満たすxyz空間の点P(x,y,z)で,x,~y,~zがすべて整数であるものの個数をf(n)とおく.極限\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{f(n)}{n^3}を求めよ.

解答

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