極限の応用６

2017年1月15日2017年12月12日

場合の数と極限の問題です。

１．(関西学院大)
(1) 条件 $1 \leqq a \leqq b \leqq 2,~1 \leqq a<c \leqq 2$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ をすべて求めよ．
(2) 条件 $1 \leqq a \leqq b \leqq 3,~1 \leqq a<c \leqq 4$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ のうち， $a=1$ のもの， $a=2$ のもの， $a=3$ のものの個数をそれぞれ求めよ．
(3) $m$ を正の整数とする．条件 $1 \leqq a \leqq b \leqq m+1,~1 \leqq a<c \leqq 2m$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ の個数 $M(m)$ を求めよ．また， $\displaystyle{\lim_{m \to \infty}}\dfrac{M(m)}{m^3}$ を求めよ．
(4) $M(m)$ が67の倍数になるような最小の正の整数 $m$ を求めよ．

→解答

２．(東京理科大)
$n$ 桁の自然数のうち，ある自然数の平方となっているものの集合を $E_n$ とする． $E_n$ の元(要素)で，その最高位の数が1であるものの個数を $a_n$ ，2であるものの個数を $b_n$ とする．ただし，自然数は10進法で表すものとする．
(1) $a_6,~b_6$ を求めよ．
(2) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{b_n}$ を求めよ．

３．(東京工業大)
10進法表示の $n$ 桁の正の整数で，隣り合う桁の数字が互いに相異なるような数の個数を $a_n$ とするとき，
(1) $a_n$ を求めよ．
(2) 上の数のうちで，1の位の数字が0である数の個数を $b_n$ とするとき， $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{b_n}{a_n}$ を求めよ．

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