極限の応用6

2017年12月12日

場合の数と極限の問題です。

1.(関西学院大)
(1) 条件1 \leqq a \leqq b \leqq 2,~1 \leqq a<c \leqq 2を満たす正の整数の組(a,b,c)をすべて求めよ.
(2) 条件1 \leqq a \leqq b \leqq 3,~1 \leqq a<c \leqq 4を満たす正の整数の組(a,b,c)のうち,a=1のもの,a=2のもの,a=3のものの個数をそれぞれ求めよ.
(3) mを正の整数とする.条件1 \leqq a \leqq b \leqq m+1,~1 \leqq a<c \leqq 2mを満たす正の整数の組(a,b,c)の個数M(m)を求めよ.また,\displaystyle{\lim_{m \to \infty}}\dfrac{M(m)}{m^3}を求めよ.
(4) M(m)が67の倍数になるような最小の正の整数mを求めよ.

解答

2.(東京理科大)
n桁の自然数のうち,ある自然数の平方となっているものの集合をE_nとする.E_nの元(要素)で,その最高位の数が1であるものの個数をa_n,2であるものの個数をb_nとする.ただし,自然数は10進法で表すものとする.
(1) a_6,~b_6を求めよ.
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{b_n}を求めよ.

3.(東京工業大)
10進法表示のn桁の正の整数で,隣り合う桁の数字が互いに相異なるような数の個数をa_nとするとき,
(1) a_nを求めよ.
(2) 上の数のうちで,1の位の数字が0である数の個数をb_nとするとき,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{b_n}{a_n}を求めよ.

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