極限の応用7

2017年12月12日

確率と極限の問題です。

1.(東京大)
さいころをn回振り,第1回目から第n回目までに出たさいころの目の数n個の積をX_nとする.
(1) X_nが5で割り切れる確率を求めよ.
(2) X_nが4で割り切れる確率を求めよ.
(3) X_nが20で割り切れる確率をp_nとおく.\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n}\log(1-p_n)を求めよ.
注意:さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする.

解答

2.(富山大)
nを2以上の自然数とし,正2n角形の2n個の頂点を反時計回りに\mbox{A}_1,~\mbox{A}_2,~\cdots,~\mbox{A}_{2n}とする.\mbox{A}_1,~\mbox{A}_i,~\mbox{A}_j~(1<i<j)を3頂点とする三角形で\angle\mbox{A}_i\mbox{A}_1\mbox{A}_j \geqq 90^{\circ}を満たすものの個数をN_nとする.
(1) N_4を求めよ.
(2) N_nnの式で表せ.
(3) \mbox{A}_1,~\mbox{A}_2,~\cdots,~\mbox{A}_{2n}の中から3点を選び,これらを頂点とする三角形を作るとき,この三角形が鋭角三角形となる確率P_nを求めよ.
(4) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}P_nを求めよ.

3.(神戸大)
A, B, Cの3人で勝ち抜き戦を行う.3人の戦力は同等である.第1回戦でAとBが対戦し,その勝者が第2回戦でCと対戦する.もしCが負ければAかBが連勝したことになり、優勝が決まるものとする.Cが勝てば,第1回戦の敗者が第3回戦でCと対戦する.以下これを繰り返し,誰かが2連勝したところで優勝が決まるものとする.
(1) 第1回戦でBが勝ち,第2回戦でCが勝ち,第3回戦でAが勝った場合をBCAのように表すことにする.このような表し方で,第1回戦から第7回戦までにAが優勝する場合をすべてかけ (説明,証明は不要である).
(2) 第n回戦までに優勝が決まらない確率を求めよ.
(3) 第n回戦までにCが優勝する確率をp_nとするとき,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}p_nの値を求めよ.

4.(大阪市立大)
nを自然数とする.袋の中に5個の赤玉とn個の白玉が入っている.
(1) 袋から玉を1個とり出す試行をn回続けて行う.ただし,とり出した玉は袋に戻さないものとする.とり出した玉がすべて白玉である確率p_nを,nを用いて表せ.
(2) 袋から玉を2個同時にとり出し,色を調べてからもとに戻す試行をn回続けて行う.n回の試行すべてにおいて2個の白玉をとり出す確率q_nを,nを用いて表せ.
(3) (2)のq_nに対して,極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}q_nを求めよ.ただし,\displaystyle{\lim_{x \to 0}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=eは用いてよい.

5.(東京工業大)
1からnまでの数字を書いたカードが1枚ずつある.ただし,n \geqq 3とする.
(1) このn枚のカードから無作為に同時に2枚のカードを取り出すとき,書かれた数の積の期待値Enで表せ.
(2) このn枚のカードから無作為に同時に3枚のカードを取り出すとき,書かれた数の積の期待値をE(n)で表す.このとき\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{E(n)}{n^3}を求めよ.

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