漸化式と極限1

2017年12月12日

2項間漸化式と極限の問題です。

1.(東京理科大)
数列\{a_n\}は漸化式
a_1=0,~a_n=(3p-1)a_{n-1}-1~(n=2,~3,~4,~\cdots)
を満たすという.ただし,pは定数である.数列a_1,~a_2,~a_3,~\cdotsが等差数列になるのはp=(~~~~~)のときである.また,この数列が収束するためには,実数p(~~~~~)<p<(~~~~~)を満たすことが必要十分であって,このとき\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=(~~~~~)である.

解答

2.(高知女子大)
a_1=1,~a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+r^n~(n=1,~2,~\cdots)で定める数列\{a_n\}について次の問いに答えよ.ただし,r\dfrac{1}{2}でない定数である.
(1) 一般項a_nrで表せ.
(2) 数列\{a_n\}が0に収束するためのrの条件を求めよ.
(3) (2)で求めた条件で無限級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_nは和をもつ.この和をrを用いて表せ.

3.(京都大)
x,~yを相異なる正の実数とする.数列\{a_n\}
a_1=0,~a_{n+1}=xa_n+y^{n+1}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
によって定めるとき,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nが有限の値に収束するような座標平面上の点(x,y)の範囲を図示せよ.

解答

4.(早稲田大)
cを正の定数として,漸化式a_n=\dfrac{{a_{n-1}}^2}{3^n},~a_0=cで定義される数列\{a_n\}を考える.このとき{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=\inftyとなるようなcの範囲を求めよ.

5.(北海道大)
実数cに対して,数列\{a_n\}a_1=c,~a_{n+1}=a_n-\dfrac{1}{2}|a_n|+1~(n=1,~2,~3,~\cdots)によって定める.
(1) c \geqq 0とする.このとき,すべてのnに対してa_n \geqq 0が成り立つことを示せ.さらに,数列\{a_n\}の一般項を求めよ.
(2) c<0とする.このとき,すべてのnに対してa_n<0が成り立つような実数cの値の範囲を求めよ.
(3) 数列\{a_n\}が収束するような実数cの値の範囲を求めよ.

解答

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