漸化式と極限2

2019年4月8日

3項間漸化式と極限の問題です。

1.(香川医科大)
a_1=1,~a_2=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)である数列\{a_n\}について,
(1) a_nnの式で表せ.
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}を求めよ.

解答

2.(東京都立大)
数列\{a_n\}a_1=1,~a_2=2,~xa_n=(x-1)a_{n-1}+a_{n-2}~(n \geqq 3)を満たす.ただし,xは0でない実数とする.
(1) a_nnxで表せ.
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nが存在するようなxに対して,f(x)=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nとするとき,関数y=f(x)のグラフをかけ.

解答

3.(室蘭工業大)
p,~qを実数とする.数列\{a_n\}~(n=1,~2,~\cdots)a_1=0,~a_2=1,~a_n=pa_{n-1}-qa_{n-2}~(n=3,~4,~\cdots)をみたし,さらに0でない極限値\alphaをもつ.
(1) p-qの値を求めよ.
(2) -1<q<1であることを示せ.
(3) \alphaqで表せ.

解答

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