漸化式と極限4

2017年12月12日

項の置き換え型の漸化式と極限の問題です。

1.(東京大)
数列\{a_n\}の項がa_1=\sqrt{2},~a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)によって与えられているものとする.このとき,a_n=2\sin\theta_n,~0<\theta_n<\dfrac{\pi}{2}を満たす\theta_nを見出せ.また,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\theta_nを求めよ.

2.(関西大)
すべての自然数nについて,0<a_n<1となる数列\{a_n\}a_1=\dfrac{3}{4},および漸化式a_{n+1}=\dfrac{1-\sqrt{1-a_n}}{2}~(n=1,~2,~3,~\cdots)を満たしているとする.
(1) a_n=\sin^2\theta_n~\left(0<\theta_n<\dfrac{\pi}{2},~n \geqq 1\right)とおく.\theta_1の値を求め,数列\{\theta_n\}の漸化式を導け.
(2) (1)で与えられた数列\{\theta_n\}の一般項を求めよ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}2^{2n}a_nを求めよ.

解答

3.(大阪医科大)
数列\{x_n\}を次のように定める.
x_1=\sqrt{3},~x_{n+1}=\dfrac{x_n}{\sqrt{1+x_n^2}+1}~(n=1,~2,~\cdots)
(1) 数列\{x_n\}は減少数列であることを示せ.
(2) x_n=\tan\theta_nにより\theta_n~\left(0<\theta_n<\dfrac{\pi}{2}\right)を定める.数列\{\theta_n\}の一般項を求めよ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}2^nx_nを求めよ.

4.(北海道大)
pを自然数とする.数列\{x_n\}を漸化式
x_1=\cos\left(\dfrac{2\pi}{p}\right),~x_{n+1}=2(x_n)^2-1~(n=1,~2,~3,~\cdots)
で定める.
(1) x_nを求めよ.
(2) lを自然数とする.p=2^lおよびp=3 \times 2^lのそれぞれの場合について\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}x_nを求めよ.
(3) lを自然数とする.p=5 \times 2^lのとき,数列\{x_n\}は発散することを示せ.

5.(新潟大)
-\pi<\theta<\piとするとき,次の条件によって定められる数列\{a_n\}がある. a_1=\cos\dfrac{\theta}{2},~a_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+a_n}{2}}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
このとき,
(1) a_n=\cos\dfrac{\theta}{2^n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)が成り立つことを証明せよ.
(2) 2^n\cdot\sin\dfrac{\theta}{2^n}\cdot\cos\dfrac{\theta}{2}\cdot\cos\dfrac{\theta}{2^2}\cdot\cos\dfrac{\theta}{2^3}\cdot\cdots\cdot\cos\dfrac{\theta}{2^n}=\sin\theta~(n=1,~2,~3,~\cdots)が成り立つことを証明せよ.
(3) b_n=a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot\cdots\cdot a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)とおく.\theta \ne 0のとき,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}b_n\thetaを用いて表せ.

解答

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