漸化式と極限３

2017年1月16日2017年12月12日

連立漸化式と極限の問題です。

１．(電気通信大)
数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ を次の式で定義する．ただし， $p>0,~q>0$ とする．
$a_1=1,~b_1=0,~\left\{\begin{array}{l} a_{n+1}=(1-p)a_n+qb_n\\ b_{n+1}=pa_n+(1-q)b_n \end{array}\right.~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
(1) 第 $n$ 項 $a_n,~b_n$ を $p,~q,~n$ を用いて表せ．
(2) 数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ が収束する条件を求めよ．また，そのときの極限値を求めよ．

→解答

２．(信州大)
平面上の点列P $_n(x_n,y_n)~(n=1,~2,~\cdots)$ が
$\left\{\begin{array}{l} x_{n+1}=\dfrac{1}{4}x_n+\dfrac{4}{5}y_n\\ y_{n+1}=\dfrac{3}{4}x_n+\dfrac{1}{5}y_n \end{array}\right.$
を満たし，点 $\mbox{P}_1$ は直線 $l:x+y=2$ 上にあるとする．
(1) 点 $\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2,~\cdots$ はすべて直線 $l$ 上にあることを示せ．
(2) 点列 $\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2,~\cdots$ はある定点に限りなく近づくことを示し，その定点を求めよ．

３．(香川医大)
正の整数 $n$ に対して， $(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}$ で定まる2つの整数 $a_n,~b_n$ のなす数列を $\{a_n\},~\{b_n\}~(n=1,~2,~\cdots)$ とする．このとき，
(1) $a_{n+1}$ および $b_{n+1}$ を，それぞれ $a_n$ と $b_n$ で表せ．
(2) $a_n^2-2b_n^2$ は $n$ に関係しない一定の値であることを証明せよ．
(3) $a_n$ および $b_n$ を，それぞれ $n$ の式で表せ．
(4) $(3+2\sqrt{2})^n$ の整数部分は $2a_n-1$ であることを証明せよ．
(5) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{b_n}$ の値を求めよ．

→解答

４．(愛知教育大)
2つの数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ を次のように定める．
$a_1=1,~b_1=1,\\ \left\{\begin{array}{l} a_{n+1}=a_n+2b_n\\ b_{n+1}=a_n+b_n \end{array}\right.~(n \geqq 1)$
(1) すべての $n$ について $|{a_n}^2-2{b_n}^2|=1$ が成り立つことを示せ．
(2) すべての $n$ について $a_n$ と $b_n$ の最大公約数は1であることを示せ．
(3) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{b_n}=\sqrt{2}$ であることを示せ．

→解答

５．(東京理科大)
原点をOとする $xy$ 平面上の点 $\mbox{P}_n(n=1,~2,~3,~\cdots)$ は，その座標 $(x_n,y_n)$ が条件
$x_1=1,~y_1=0,~\left\{\begin{array}{l} x_{n+1}=\dfrac{1}{4}x_n-\dfrac{\sqrt{3}}{4}y_n\\ y_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x_n+\dfrac{1}{4}y_n \end{array}\right.~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
を満たしているものとする．このとき， $|\overrightarrow{\mbox{OP}_{n+1}}|=(~~~~~)|\overrightarrow{\mbox{OP}_n}|, \overrightarrow{\mbox{OP}_{n+1}} \cdot \overrightarrow{\mbox{OP}_n}=(~~~~~)|\overrightarrow{\mbox{OP}_n}|^2$ である． $\bigtriangleup\mbox{P}_n\mbox{OP}_{n+1}$ の面積を $S_n$ とおくと， $S_n=(~~~~~)$ であり， $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}S_n=(~~~~~)$ である．

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