漸化式と極限3

2017年12月12日

連立漸化式と極限の問題です。

1.(電気通信大)
数列\{a_n\},~\{b_n\}を次の式で定義する.ただし,p>0,~q>0とする.
a_1=1,~b_1=0,~\left\{\begin{array}{l} a_{n+1}=(1-p)a_n+qb_n\\ b_{n+1}=pa_n+(1-q)b_n \end{array}\right.~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) 第na_n,~b_np,~q,~nを用いて表せ.
(2) 数列\{a_n\},~\{b_n\}が収束する条件を求めよ.また,そのときの極限値を求めよ.

解答

2.(信州大)
平面上の点列P_n(x_n,y_n)~(n=1,~2,~\cdots)
\left\{\begin{array}{l} x_{n+1}=\dfrac{1}{4}x_n+\dfrac{4}{5}y_n\\ y_{n+1}=\dfrac{3}{4}x_n+\dfrac{1}{5}y_n \end{array}\right.
を満たし,点\mbox{P}_1は直線l:x+y=2上にあるとする.
(1) 点\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2,~\cdotsはすべて直線l上にあることを示せ.
(2) 点列\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2,~\cdotsはある定点に限りなく近づくことを示し,その定点を求めよ.

3.(香川医大)
正の整数nに対して,(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}で定まる2つの整数a_n,~b_nのなす数列を\{a_n\},~\{b_n\}~(n=1,~2,~\cdots)とする.このとき,
(1) a_{n+1}およびb_{n+1}を,それぞれa_nb_nで表せ.
(2) a_n^2-2b_n^2nに関係しない一定の値であることを証明せよ.
(3) a_nおよびb_nを,それぞれnの式で表せ.
(4) (3+2\sqrt{2})^nの整数部分は2a_n-1であることを証明せよ.
(5) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{b_n}の値を求めよ.

解答

4.(愛知教育大)
2つの数列\{a_n\},~\{b_n\}を次のように定める.
a_1=1,~b_1=1,\\ \left\{\begin{array}{l} a_{n+1}=a_n+2b_n\\ b_{n+1}=a_n+b_n \end{array}\right.~(n \geqq 1)
(1) すべてのnについて|{a_n}^2-2{b_n}^2|=1が成り立つことを示せ.
(2) すべてのnについてa_nb_nの最大公約数は1であることを示せ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{b_n}=\sqrt{2}であることを示せ.

解答

5.(東京理科大)
原点をOとするxy平面上の点\mbox{P}_n(n=1,~2,~3,~\cdots)は,その座標(x_n,y_n)が条件
x_1=1,~y_1=0,~\left\{\begin{array}{l} x_{n+1}=\dfrac{1}{4}x_n-\dfrac{\sqrt{3}}{4}y_n\\ y_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x_n+\dfrac{1}{4}y_n \end{array}\right.~(n=1,~2,~3,~\cdots)
を満たしているものとする.このとき,|\overrightarrow{\mbox{OP}_{n+1}}|=(~~~~~)|\overrightarrow{\mbox{OP}_n}|, \overrightarrow{\mbox{OP}_{n+1}} \cdot \overrightarrow{\mbox{OP}_n}=(~~~~~)|\overrightarrow{\mbox{OP}_n}|^2である.\bigtriangleup\mbox{P}_n\mbox{OP}_{n+1}の面積をS_nとおくと,S_n=(~~~~~)であり,\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}S_n=(~~~~~)である.

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