漸化式と極限5

2018年9月2日

予測型の漸化式と極限の問題です。

1.(東京工業大)
数列\{a_n\}a_1=5,~a_{n+1}=\dfrac{4a_n-9}{a_n-2}~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定める.また数列\{b_n\}b_n=\dfrac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{1+2+\cdots+n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)と定める.
(1) 数列\{a_n\}の一般項を求めよ.
(2) すべてのnに対して,不等式a_n \leqq 3+\dfrac{4}{n+1}が成り立つことを示せ.
(3) 極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}b_nを求めよ.

解答

2.(大分大)
次の初項と漸化式で決まる数列\{a_n\}について,
a_1=1,~a_{n+1}=1+\dfrac{1}{a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) 一般項a_nを求めよ.
(2) 数列\{a_n\}の極限を調べよ.

3.(徳島大)
cを実数とする.数列\{a_n\}は次を満たす.
a_1=1,~a_{n+1}=\dfrac{{a_n}^2+cn-4}{3n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) a_2,~a_3cを用いて表せ.
(2) a_1+a_3 \leqq 2a_2のとき,不等式a_n \geqq 3~(n=3,~4,~5,~\cdots)を示せ.
(3) a_1+a_3=2a_2のとき,極限\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

4.(千葉大)
無限数列\{a_n\}a_1=c,~a_{n+1}=\dfrac{a_n^2-1}{n}~(n \geqq 1)で定める.ここで,cは定数とする.
(1) c=2のとき,一般項a_nを求めよ.
(2) c \geqq 2ならば,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=\inftyとなることを示せ.
(3) c=\sqrt{2}のとき,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nの値を求めよ.

解答

5.(青山学院大)
定数a,~bb>a>0を満たしている.
関数の列f_1(x),~f_2(x),~\cdots,~f_n(x),~\cdots
f_1(x)=\dfrac{bx}{x+a},~f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))~(n=1,~2,~3,~\cdots)
で定めるとき,
(1) f_2(x)およびf_3(x)を求めよ.
(2) 一般のnに対してf_n(x)の形を推測し,それを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) 極限\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}f_n(b)を求めよ.

6.(高知医大)
t0<t<\dfrac{\pi}{2}をみたす実数とする.
(1) 数列\{a_n\},~\{b_n\}
a_1=\cos t,~b_1=1,~a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2},~b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}~(n=1,~2,~\cdots)
によって定めるとき,a_2,~a_3,~a_4を求めよ.
(2) 数列\{a_n\}の第na_n~(n \geqq 3)を推定し,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

解答

7.(横浜国立大)
数列\{a_n\},~\{b_n\}は次の条件を満たす.
(A) a_1=1,~a_n \ne 0~(n=2.,~3,~4,~\cdots)
(B) n=1,~2,~3,~\cdotsに対して,b_n\dfrac{1}{a_n}より大きい最小の自然数である.
(C) n=1,~2,~3,~\cdotsに対して,a_{n+1}=a_n-\dfrac{1}{b_n}が成り立つ.
(1) b_1,~a_2,~b_2,~a_3,~b_3を求めよ.
(2) b_1b_2 \cdots b_na_{n+1}~(n=1,~2,~3,~\cdots)を求めよ.
(3) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{b_k}を求めよ.

8.(埼玉大)
整式f_n(x),および実数a_n,~b_n
(x+1)^n=(x^2+1)f_n(x)+a_nx+b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
を満たすものとする.ただし,定数も整式とみなす.
(1) a_1,~a_2,~a_3,~b_1,~b_2,~b_3,~f_1(x),~f_2(x),~f_3(x)をそれぞれ求めよ.
(2) a_{n+1},~b_{n+1}a_n,~b_nを用いて表せ.
(3) \left\{\begin{array}{l} a_n=2^{\frac{n}{2}}\sin\dfrac{n\pi}{4}\\ b_n=2^{\frac{n}{2}}\cos\dfrac{n\pi}{4} \end{array}\right.~(n=1,~2,~3,~\cdots)が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(4) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{f_n(1)}{2^n}を求めよ.

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