漸化式と極限6

漸化式の応用と極限の問題です。

1.(東京理科大)
容器Aには3%の食塩水が300g,容器Bには6%の食塩水が300g入れてある.A, Bからそれぞれ100gの食塩水をとってAの分をBに,Bの分をAに入れる.このような操作をn回繰り返して行った結果,Aはa_n%の食塩水になった.
(1) a_na_{n-1}~(n=2,~3,~\cdots)の関係を表す式はa_n=pa_{n-1}+qとなる.p,~qの値を求めよ.
(2) a_n~(n=1,~2,~\cdots)は,a_n=c-dr^{n-1}と表される.r,~c,~dの値を求めよ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

2.(岐阜薬科大)
3点O(0,0), A(2,0), B(1,\sqrt{3})を頂点とする\bigtriangleupOABがある.点Oから辺ABに引いた垂線を\mbox{OH}_1とする.次に,点\mbox{H}_1から辺OAに引いた垂線を\mbox{H}_1\mbox{H}_2,点\mbox{H}_2から辺OBに引いた垂線を\mbox{H}_2\mbox{H}_3,点\mbox{H}_3から辺ABに引いた垂線を\mbox{H}_3\mbox{H}_4とする.以下,辺OA, OB, AB上に,この順で垂線を引くことを繰り返し,点\mbox{H}_nを決め,線分\mbox{H}_{n-1}\mbox{H}_nの長さをa_n~(n \geqq 2)とする.a_1=\mbox{OH}_1とするとき,
(1) a_2,~a_3,~a_4を求めよ.
(2) a_nnを用いて表せ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

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