漸化式と極限７

2017年1月16日2017年12月12日

解けない漸化式と極限の問題です。はさみうちの原理を利用します。

１．(京都府立大)
$a$ は正の実数で，定数とする．数列 $\{x_n\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ を次のように定義する．
$x_1=\sqrt{a},~x_2=\sqrt{a+\sqrt{a}},~x_3=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}},~\cdots$
一般に， $x_{n+1}=\sqrt{a+x_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ が収束するかどうかを調べたい．
(1) 数列 $\{x_n\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ が収束すると仮定して，その極限値を求めよ．
(2) 数列 $\{x_n\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ は(1)で求めた値に，実際に収束することを証明せよ．

→解答

２．(首都大)
$a$ と $b$ を $0 \leqq a \leqq 1,~0 \leqq b < 1$ を満たす定数とする．数列 $\{a_n\}$ を次の条件によって定める．
$a_1=a,~a_{n+1}=\dfrac{1}{2}({a_n}^2+b)~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
$c=1-\sqrt{1-b}$ とおく．
(1) $0 \leqq a_n \leqq 1$ が成り立つことを示せ．
(2) $a_{n+1}-c=\dfrac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$ が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=c$ が成り立つことを示せ．

３．(埼玉大)
数列 $\{x_n\}$ を， $0<x_1<1$ として $x_{n+1}=\dfrac{2}{3-x_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定める．
(1) すべての $n$ に対し， $0<x_n<1$ であることを示せ．
(2) 数列 $\{x_n\}$ は収束することを示し，その極限値を求めよ．

４．(神戸大)
数列 $\{a_n\}~(n=1,~2,~\cdots)$ は $a_1=0,~a_{n+1}=\dfrac{1}{4-{a_n}^2}~(n=1,~2,~\cdots)$ を満たすとする．
(1) すべての自然数 $n$ に対し， $0 \leqq a_n < 1$ が成り立つことを示せ．
(2) 3次方程式 $x^3-4x+1=0$ は， $0<x<1$ においてただ1つの解 $\alpha$ をもつことを示せ．
(3) (2)の $\alpha$ に対し， $|a_{n+1}-\alpha| \leqq \beta|a_n-\alpha|~(n=1,~2,~\cdots)$ が成り立つような $\beta~(0<\beta<1)$ を1つ求めよ．
(4) (2)の $\alpha$ に対し $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=\alpha$ が成り立つことを示せ．

→解答

５．(群馬大)
$a_1=2,~a_{n+1}=\dfrac{4{a_n}^2+9}{8a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定義される数列 $\{a_n\}$ について
(1) $0<a_{n+1}-\dfrac{3}{2}<\dfrac{1}{3}\left(a_n-\dfrac{3}{2}\right)^2$ を証明せよ．
(2) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n$ を求めよ．

６．(東北大)
関数 $f(x)=4x-x^2$ に対し，数列 $\{a_n\}$ を
$a_1=c,~a_{n+1}=\sqrt{f(a_n)}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
で与える．ただし， $c$ は $0<c<2$ を満たす定数である．
(1) $a_n<2,~a_n<a_{n+1}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ を示せ．
(2) $2-a_{n+1}<\dfrac{2-c}{2}(2-a_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ を示せ．
(3) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n$ を求めよ．

７．(学習院大)
数列 $\{a_n\}$ を漸化式
$a_1=2,~a_{n+1}=2a_n-\dfrac{1}{a_n}~(n \geqq 1)$
によって定める．数列 $\{a_n\}$ の極限に関する次の議論は間違っている．どこに誤りがあるかを指摘せよ．また，誤りを正して，正しい議論に置き換えよ．
最初に， $a_n>1$ であることを証明する．まず， $n=1$ に対しては $a_1=2>1$ である．また， $a_n>1$ とすれば $\dfrac{1}{a_n}<1$ であるから
$a_{n+1}=2a_n-\dfrac{1}{a_n}>2-1=1$
がいえる．これで，数学的帰納法により，すべての $n$ について $a_n>1$ であることが示された．
次に， $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=a$ とすれば $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_{n+1}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n$ であるから，漸化式より
$a=2a-\dfrac{1}{a}$
が得られる．この等式を変形すれば $a^2=1$ となるが， $a_n>1$ より $a \geqq 1$ であるので， $a=1$ であることがわかる．
結局 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=1$ と結論される．

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