漸化式と極限7

2017年12月12日

解けない漸化式と極限の問題です。はさみうちの原理を利用します。

1.(京都府立大)
aは正の実数で,定数とする.数列\{x_n\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)を次のように定義する.
x_1=\sqrt{a},~x_2=\sqrt{a+\sqrt{a}},~x_3=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}},~\cdots
一般に,x_{n+1}=\sqrt{a+x_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)が収束するかどうかを調べたい.
(1) 数列\{x_n\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)が収束すると仮定して,その極限値を求めよ.
(2) 数列\{x_n\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)は(1)で求めた値に,実際に収束することを証明せよ.

解答

2.(首都大)
ab0 \leqq a \leqq 1,~0 \leqq b < 1を満たす定数とする.数列\{a_n\}を次の条件によって定める.
a_1=a,~a_{n+1}=\dfrac{1}{2}({a_n}^2+b)~(n=1,~2,~3,~\cdots)
c=1-\sqrt{1-b}とおく.
(1) 0 \leqq a_n \leqq 1が成り立つことを示せ.
(2) a_{n+1}-c=\dfrac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)が成り立つことを示せ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=cが成り立つことを示せ.

3.(埼玉大)
数列\{x_n\}を,0<x_1<1としてx_{n+1}=\dfrac{2}{3-x_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定める.
(1) すべてのnに対し,0<x_n<1であることを示せ.
(2) 数列\{x_n\}は収束することを示し,その極限値を求めよ.

4.(神戸大)
数列\{a_n\}~(n=1,~2,~\cdots)a_1=0,~a_{n+1}=\dfrac{1}{4-{a_n}^2}~(n=1,~2,~\cdots)を満たすとする.
(1) すべての自然数nに対し,0 \leqq a_n < 1が成り立つことを示せ.
(2) 3次方程式x^3-4x+1=0は,0<x<1においてただ1つの解\alphaをもつことを示せ.
(3) (2)の\alphaに対し,|a_{n+1}-\alpha| \leqq \beta|a_n-\alpha|~(n=1,~2,~\cdots)が成り立つような\beta~(0<\beta<1)を1つ求めよ.
(4) (2)の\alphaに対し\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=\alphaが成り立つことを示せ.

解答

5.(群馬大)
a_1=2,~a_{n+1}=\dfrac{4{a_n}^2+9}{8a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定義される数列\{a_n\}について
(1) 0<a_{n+1}-\dfrac{3}{2}<\dfrac{1}{3}\left(a_n-\dfrac{3}{2}\right)^2を証明せよ.
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

6.(東北大)
関数f(x)=4x-x^2に対し,数列\{a_n\}
a_1=c,~a_{n+1}=\sqrt{f(a_n)}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
で与える.ただし,c0<c<2を満たす定数である.
(1) a_n<2,~a_n<a_{n+1}~(n=1,~2,~3,~\cdots)を示せ.
(2) 2-a_{n+1}<\dfrac{2-c}{2}(2-a_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)を示せ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

7.(学習院大)
数列\{a_n\}を漸化式
a_1=2,~a_{n+1}=2a_n-\dfrac{1}{a_n}~(n \geqq 1)
によって定める.数列\{a_n\}の極限に関する次の議論は間違っている.どこに誤りがあるかを指摘せよ.また,誤りを正して,正しい議論に置き換えよ.
最初に,a_n>1であることを証明する.まず,n=1に対してはa_1=2>1である.また,a_n>1とすれば\dfrac{1}{a_n}<1であるから
a_{n+1}=2a_n-\dfrac{1}{a_n}>2-1=1
がいえる.これで,数学的帰納法により,すべてのnについてa_n>1であることが示された.
次に,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=aとすれば\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_{n+1}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nであるから,漸化式より
a=2a-\dfrac{1}{a}
が得られる.この等式を変形すればa^2=1となるが,a_n>1よりa \geqq 1であるので,a=1であることがわかる.
結局\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=1と結論される.

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