漸化式と極限8

7の続きです。

1.(北海道大)
a_1>1とする.数列\{a_n\}を漸化式
a_{n+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2a_n}~(n \geqq 1)
によって定める.kを自然数として,次の問いに答えよ.
(1) a_{2k+1}a_{2k-1}で表せ.
(2) 1<a_{2k+1}<a_{2k-1}を示せ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=1を示せ.

2.(関西大)
a_1=2,~n \geqq 1のとき,a_{2n}=\sqrt{a_{2n-1}},~a_{2n+1}=\dfrac{3}{2}a_{2n}-\dfrac{1}{2}を満たす数列\{a_n\}を考える.
(1) a_n>1~(n=1,~2,~3,~\cdots)を示せ.
(2) a_{2n+1}-1<\dfrac{3}{4}(a_{2n-1}-1)~(n=1,~2,~3,~\cdots)を示せ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

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