漸化式と極限9

2017年12月12日

解けない漸化式と収束・発散の問題です。

1.(お茶の水女子大)
数列\{a_n\}を,次の漸化式で定める.
a_1=1,~a_{n+1}=\dfrac{c^3+ba_n}{b+ca_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
ただし,b,~cは正の実数である.
(1) すべてのnに対してa_n<a_{n+1}となるための必要十分条件をb,~cで表せ.
(2) (1)の条件をみたすとき,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nがあることを示しその値を求めよ.

解答

2.(お茶の水女子大)
数列\{x_i\}が次の漸化式を満たしている.
x_{i+1}=\dfrac{x_i^2+1}{2}~(i=1,~2,~3,~\cdots)
(1) すべての自然数iに対して,x_{i+1} \geqq x_iが成り立つことを示せ.
(2) |x_i| \leqq 1のとき,すべての自然数iに対してx_i \leqq 1であることを示せ.
(3) 自然数nに対して,等式x_{n+1}-x_1=\dfrac{1}{2}\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}(x_i-1)^2が成り立つことを示せ.
(4) |x_i| \leqq 1のとき,x_{n+1}-x_1 \geqq \dfrac{n}{2}(x_n-1)^2が成り立つことを示せ.
(5) 初項x_1の値に応じて,数列\{x_i\}の収束,発散について調べ,収束するときは極限値を求めよ.

3.(北海道大)
関数f(x)f(x)=\dfrac{3x^2}{2x^2+1}とする.
(1) 0<x<1ならば,0<f(x)<1となることを示せ.
(2) f(x)-x=0となるxをすべて求めよ.
(3) 0<\alpha<1とし,数列\{a_n\}a_1=\alpha,~a_{n+1}=f(a_n)~(n=1,~2,~\cdots)とする.\alphaの値に応じて,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

解答

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