漸化式と極限10

2017年12月12日

解けない漸化式と極限の応用問題です。まずはニュートン法の問題から。

1.(和歌山県立医大)
関数y=f(x)=x^2-2で示される曲線上の点(x_n,f(x_n))における接線とx軸との交点のx座標をx_{n+1}~(n=1,~2,~\cdots)とする.このようにして得られる数列\{x_n\}について,次の問いに答えよ.
(1) x_{n+1}x_nを用いて表せ.
(2) x_n>0で,x_n \ne \sqrt{2}ならばx_{n+1}>\sqrt{2}であることを示せ.
(3) x_1>0で,x_1 \ne \sqrt{2}ならば,n \geqq 2のとき,x_{n+1}-\sqrt{2}<\dfrac{1}{2}(x_n-\sqrt{2})であることを示せ.
(4) x_1>0で,x_1 \ne \sqrt{2}ならば,数列\{x_n\}n \geqq 2のとき単調減少で,\sqrt{2}に収束することを示せ.

次に応用問題です。

2.(東京大)
xy平面に2つの円
C_0:x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4},~C_1:(x-1)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}
をとり,C_2x軸とC_0,~C_1に接する円とする.さらにn=2,~3,~\cdots\cdotsに対してC_{n+1}x軸とC_{n-1},~C_nに接する円でC_{n-2}とは異なるものとする.C_nの半径をr_nC_nx軸の接点を(x_n,0)として,
q_n=\dfrac{1}{\sqrt{2r_n}},~p_n=q_nx_n
とおく.
(1) q_nは整数であることを示せ.
(2) p_nも整数で,p_nq_nは互いに素であることを示せ.
(3) \alpha\alpha=\dfrac{1}{1+\alpha}を満たす正の数として,不等式|x_{n+1}-\alpha|<\dfrac{2}{3}|x_n-\alpha|を示し,極限\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}x_nを求めよ.

解答

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