無限等比級数1

2017年12月12日

無限等比級数の問題です。

1.(東京理科大)
0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}\thetaに対して,xに関する2次方程式
x^2+(\sqrt{2}\sin 2\theta)x+2\cos\theta=0
を考える.
(1) この方程式が異なる2つの実数解をもつときの\thetaの範囲を求めよ.
以下,この方程式が異なる2つの実数解をもつ場合について考え,この2つの実数解を\alpha,~\betaとする.
(2) 無限等比級数1+\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)+\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)^n+\cdotsが収束するときの\thetaの範囲を求めよ.
(3) 無限等比級数1+\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)+\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)^n+\cdotsが収束して,その和が2-\sqrt{2}となるときの\thetaを求めよ.

解答

2.(近畿大)
次の級数の和を求めよ.
(1) \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}}\dfrac{1}{3^n}
(2) \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}}\dfrac{1}{5^n}\cos n\pi
(3) \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}}\dfrac{1}{7^n}\sin\dfrac{n\pi}{2}

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