無限等比級数2

2017年12月12日

n進法と無限等比級数の問題です。

1.(香川医大)
十進法で表された小数\alpha~(0<\alpha<1)k進法の小数に直すということは,整数k~(k \geqq 2)に対して
\alpha=\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k^2}+\cdots+\dfrac{a_n}{k^n}+\cdots (有限または無限)
0 \leqq a_n < k~(n=1,~2,~\cdots)
が成立するように各整数a_nを決めることであり,
これを\alpha=0.a_1a_2 \cdots a_n \cdotsと表す.また,循環小数の場合は十進法と同様に\alpha=0.a_1a_2a_3a_1a_2a_3\cdots\alpha=0.\dot{a_1}a_2\dot{a_3}と表す.十進法で表された\dfrac{11}{26}を三進法で表すと,0.\dot{b_1}b_2\dot{b_3}となる.このとき,b_1,~b_2,~b_3を求めよ.

解答

2.(横浜市立大)
実数\beta>1に対して関数f(x)f(x)=\beta x-[\beta x]で定義する.ここで,実数yに対して[y]m \leqq y \leqq m+1を満たす整数mを表す.すなわち,[y]yを超えない最大の整数である.
関数f_1(x)=f(x),~f_{n+1}(x)=f(f_n(x)),~d_1(x)=[\beta x],~d_{n+1}(x)=[\beta f_n(x)]
で定義する.xの範囲を0 \leqq x \leqq 1とするとき,
(1) すべてのn=1,~2,~3,~\cdotsに対して0 \leqq d_n(x) \leqq [\beta]が成り立つことを証明せよ.
(2) すべてのn=1,~2,~3,~\cdotsに対してf_n(x)=\beta^n x-\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}\beta^{n-k}d_k(x)が成り立つことを証明せよ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\left|x-\displaystyle{\sum_{k=1 \to n}}\dfrac{d_k(x)}{\beta^k}\right|=0を証明せよ.

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