無限等比級数3

2017年1月17日

無限等比級数の図形問題への応用です。

1.(東京大)
xy平面上で原点から傾きa~(a>0)で出発し折れ線上に動く点Pを考える.ただし,点Pのy座標はつねに増加し,その値が整数になるごとに動く方向の傾きがs(s>0)に変化するものとする.Pの描く折れ線が直線x=b~(b>0)を横切るためのa,~b,~sに関する条件を求めよ.

2.(千葉大)
r0<r<1を満たす実数とする.座標平面上に1辺の長さがr^nの正方形R_n~(n=0,~1,~2,~3,~\cdots)があり,その頂点を反時計回りに\mbox{A}_n,~\mbox{B}_n,~\mbox{C}_n,~\mbox{D}_nとする.さらにR_nは次の条件(ⅰ), (ⅱ)を満たすとする.
(ⅰ) 正方形R_0の頂点は\mbox{A}_0(0,0),~\mbox{B}_0(1,0),~\mbox{C}_0(1,1),~\mbox{D}_0(0,1)である.
(ⅱ) \mbox{A}_{n+1}=\mbox{C}_nで,点\mbox{D}_{n+1}は辺\mbox{C}_n\mbox{D}_n上にある.
このとき,
(1) 点\mbox{A}_2,~\mbox{A}_3,~\mbox{A}_4の座標をrを用いて表せ.
(2) \mbox{A}_{4n}の座標を(x_n,y_n)~(n=0,~1,~2,~3,~\cdots)とおく.x_{n+1}-x_nおよびy_{n+1}-y_nr,~nの式で表せ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}x_n,~\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}y_nrを用いて表せ.

3.(東京工業大)
0<a<1とする.座標平面上で原点\mbox{A}_0から出発してx軸の正の方向にaだけ進んだ点を\mbox{A}_1とする.次に\mbox{A}_1で進行方向を反時計回りに120°回転しa^2だけ進んだ点を\mbox{A}_2とする.以後同様に\mbox{A}_{n-1}で反時計回りに120°回転してa^nだけ進んだ点を\mbox{A}_nとする.このとき点列\mbox{A}_0,~\mbox{A}_1,~\mbox{A}_2,~\cdotsの極限の座標を求めよ.

4.(宮崎大)
0<r<1を満たす実数rについて,座標平面上に,2点\mbox{P}_1(1,0)\mbox{P}_2(1,r)がある.これらから点\mbox{P}_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})~(n=2,~3,~4,~\cdots)を次の規則に従って定める.
\mbox{P}_{n-1}から点\mbox{P}_nに向かう方向を時計の針の回転と逆の向きに90°回転し,その方向に点\mbox{P}_nから距離r^nだけ進んだ点を\mbox{P}_{n+1}とする.
このとき,
(1) 点\mbox{P}_4,~\mbox{P}_8の座標を,rを用いて表せ.
(2) x=\displaystyle{\lim_{m \to \infty}}x_{4m},~y=\displaystyle{\lim_{m \to \infty}}y_{4m}とするとき,点P(x,y)の座標を,rを用いて表せ.
(3) 実数r0<r<1の範囲を動くとき,(2)の点Pの軌跡を座標平面上に図示せよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ