無限等比級数4

3の続きです。フラクタル図形(自己相似図形)についての問題です。

1.(広島大)
1辺の長さが1の正方形A_1がある.A_1の各辺を,時計回りにそれぞれa:(1-a)~(0<a<1)に内分する点を結んでできる正方形をA_2とする.同様の手続きで,正方形A_kから正方形A_{k+1}を作る (k=1,~2,~\cdots).正方形A_kの面積をS_kとするとき,次の問いに答えよ.
(1) S_2aの式で表せ.
(2) S_kkaの式で表せ.
(3) 無限級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}}S_kが収束することを示し,その和Saの式で表せ.
(4) Sを最小にするaを求めよ.

2.(北海道大)
1辺の長さがaの正三角形D_0から出発して,多角形D_1,~D_2,~\cdots~,D_n,~\cdotsを次のように定める.
(ⅰ) ABをD_{n-1}の1辺とする.辺ABを3等分し,その分点をAに近い方からP, Qとする.
(ⅱ) PQを1辺とする正三角形PQRをD_{n-1}の外側に作る.
(ⅲ) 辺ABを折れ線APRQBでおき換える.
D_{n-1}のすべての辺に対して(ⅰ)~(ⅲ)の操作を行って得られる多角形をD_nとする.
(1) D_nの周の長さL_nanで表せ.
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}L_nを求めよ.
(3) D_nの面積S_nanで表せ.
(4) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}S_nを求めよ.

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