無限等比級数5

2017年1月17日

4の続きです。

1.
右図のように円\mbox{O}_1,~\mbox{O}_2,~\cdotsは互いに接し,かつ点Cで交わる半直線l_1,~l_2に内接している.
(1) 円\mbox{O}_1の半径が5,\mbox{CA}_1の長さ12であるとき,円\mbox{O}_2の半径を求めよ.
(2) n番目の円\mbox{O}_nの半径r_nとその面積S_nを求めよ.
(3) (2)で求めたS_nに対して\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}S_nの値を求めよ.

2.(お茶の水女子大)
二等辺三角形ABCに右図のように正方形DEFGが内接している.
AB=AC=a, BC=2として次の問いに答えよ.
(1) 正方形DEFGの面積S_1を求めよ.
(2) 二等辺三角形ADGに内接する正方形D’E’F’G’の面積をS_2,二等辺三角形AD’G’に内接する正方形の面積をS_3,以下同様に正方形をつくっていき,その面積をS_4,~S_5,~\cdotsとする.このとき,無限級数S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+\cdotsの和S_{\infty}を求めよ.
(3) 三角形ABCの面積をSとするとき,S=2S_{\infty}となるのは三角形ABCがどんな三角形のときか.

3.(東京工業大)
一辺の長さが2の立方体Cがある.S_0Cの6つの面に内接する球とする.次に,S_0に外接し,Cの3つの面と内接する球S_1をとる.S_1に外接し,Cの3つの面に内接する球S_2S_1の外側 (S_0と反対側)にとる.以下帰納的に,S_0,~\cdots,~S_nまでとれたとして,S_nに外接し,Cの3つの面に内接する球S_{n+1}S_nの外側にとる.
(1) S_nの半径をnの式で表せ.
(2) S_nの体積V_n~(n=0,~1,~2,~\cdots)とおく.\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}}V_nを求めよ.

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