無限等比級数6

2017年1月17日

座標と無限等比級数の問題です。

1.(宇都宮大)
座標平面上の直線y=mx~(m>0)lとする.点(1,0)\mbox{P}_1とし,\mbox{P}_1からlに下ろした垂線の足を\mbox{Q}_1\mbox{Q}_1からx軸に下ろした垂線の足を\mbox{P}_2とする.以下同様に\mbox{P}_n~(n=1,~2,~\cdots)からlに下ろした垂線の足を\mbox{Q}_n\mbox{Q}_nからx軸に下ろした垂線の足を\mbox{P}_{n+1}とする.
(1) \bigtriangleup\mbox{P}_1\mbox{Q}_1\mbox{P}_2の面積S_1mを用いて表せ.
(2) \bigtriangleup\mbox{P}_n\mbox{Q}_n\mbox{P}_{n+1}~(n=1,~2,~\cdots)の面積をS_nとするとき,級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}S_nの和Smを用いて表せ.
(3) (2)におけるSが最大になるmと,そのときのSの値を求めよ.

2.(信州大)
a>0とし,lは1より大なる自然数とする.xy平面上に曲線y=x^l\cdots①があるとき,点\mbox{A}_1(a,0)からx軸に立てた垂線と曲線①との交点を\mbox{B}_1(a,a^l)とし,点\mbox{B}_1で引いた曲線①の接線とx軸との交点を\mbox{A}_2とする.これを続けて,n \geqq 2なる自然数nについて,点\mbox{A}_nからx軸に立てた垂線と曲線①との交点を\mbox{B}_nとし,点\mbox{B}_nで引いた曲線①の接線とx軸との交点を\mbox{A}_{n+1}とするとき,
(1) \displaystyle{\lim_{l \to \infty}}\left(1+\dfrac{1}{l}\right)^l=e=2.718\cdotsとなることを知って,\displaystyle{\lim_{l \to \infty}}\left(1-\dfrac{1}{l}\right)^lを求めよ.
(2) 点\mbox{A}_nの座標を(a_n,0)とし,\bigtriangleup\mbox{A}_n\mbox{B}_n\mbox{A}_{n+1}の面積をS_nとするとき,数列\{a_n\}\{S_n\}の一般項を求めよ.
(3) 曲線①と線分\mbox{A}_1\mbox{B}_1およびx軸で囲まれた部分の面積をT(l)とするとき,\dfrac{\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}S_n}{T(l)}および\displaystyle{\lim_{l \to \infty}}\dfrac{\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}S_n}{T(l)}を求めよ.

3.(東北大)
nを2以上の自然数とする.平面上の\bigtriangleup\mbox{OA}_1\mbox{A}_2\angle\mbox{OA}_2\mbox{A}_1=90^{\circ},~\mbox{OA}_1=1,~\mbox{A}_1\mbox{A}_2=\dfrac{1}{\sqrt{n}}を満たすとする.\mbox{A}_2から\mbox{OA}_1へ垂線を下ろし,交点\mbox{A}_3とする.\mbox{A}_3から\mbox{OA}_2へ垂線を下ろし,交点を\mbox{A}_4とする.以下同様に,k=4,~5,~\cdotsについて,\mbox{A}_kから\mbox{OA}_{k-1}へ垂線を下ろし,交点を\mbox{A}_{k+1}として,順番に\mbox{A}_5,~\mbox{A}_6,~\cdotsを定める.\overrightarrow{h_k}=\overrightarrow{\mbox{A}_k\mbox{A}_{k+1}}とおくとき,
(1) k=1,~2,~\cdotsのとき,ベクトル\overrightarrow{h_k}\overrightarrow{h_{k+1}}の内積\overrightarrow{h_{k}} \cdot \overrightarrow{h_{k+1}}nkで表せ.
(2) S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}\overrightarrow{h_k} \cdot \overrightarrow{h_{k+1}}とおくとき,極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}S_nを求めよ.ここで,自然対数の底eについて,e=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^nであることを用いてもよい.

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