無限等比級数7

面積と無限等比級数の問題です。まずは準備から。

1.(京都産業大)
曲線C:y=x^2と直線l_n:y=x+n (nは正の整数)との交点を\mbox{P}_n,~\mbox{Q}_nとする.
(1) 点\mbox{P}_n,~\mbox{Q}_nx座標をそれぞれ\alpha_n,~\beta_n~(\alpha_n<\beta_n)としたとき,\alpha_n+\beta_n,~\alpha_n\beta_nnの式で表せ.
(2) 線分\mbox{P}_n\mbox{Q}_nと曲線Cとで囲まれた部分の面積S_nnの式で表せ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\left(\dfrac{S_{n+1}}{S_n}\right)^nを求めよ.

2.(東京工業大)
xy平面上の曲線C:y=x^3+x^2+1を考え,C上の点(1,3)\mbox{P}_0とする.k=1,~2,~3,~\cdotsに対して,点\mbox{P}_{k-1}(x_{k-1},y_{k-1})におけるCの接線とCの交点のうちで\mbox{P}_{k-1}と異なる点を\mbox{P}_{k}(x_k,y_k)とする.このとき,\mbox{P}_{k-1}\mbox{P}_kを結ぶ線分とCによって囲まれた部分の面積をS_kとする.
(1) S_1を求めよ.
(2) x_kkを用いて表せ.
(3) \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}}\dfrac{1}{S_k}を求めよ.

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