無限等比級数8

2017年12月12日

整数問題と無限等比級数の問題です。

1.(高知大)
数列\{a_n\}を次のように定める.
a_1=5\\ a_{n+1}=({a_n}^2を11で割った余り)~(n=1,~2,~\cdots)
(1) 1より大きい自然数nのうち,a_n=5となる最小のものを求めよ.
(2) \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{a_n}{2^n}の値を求めよ.

解答

2.(首都大)
nを正の整数とし,n^2+3n+1の最大公約数をd_nとおく.
(1) d_1,~d_2,~d_3,~d_4,~d_5を求めよ.
(2) (n^2+3)-(n-1)(n+1)=4を用いて,d_nは1, 2, 4のいずれかであることを示せ.
(3) \displaystyle{\sum_{k=1}^{610}}d_nを求めよ.
(4) 極限値\displaystyle{\lim_{k \to \infty}}\dfrac{1}{k}\displaystyle{\sum_{n=1}^{k}}d_nを求めよ.

3.(東京理科大)
以下のような数列\{a_n\}を考える.a_1=2,~a_2=4とし,nが3以上の自然数のときは,a_{n-1}a_{n-2}を5で割った余りをcとして,cを用いてa_n=cとする.
(1) n \geqq 3で初めてa_n=4となるnを求めよ.
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{3^n}を求めよ.
(3) \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{a_n}{3^n}を求めよ.

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