無限等比級数9

2017年7月16日

確率と無限等比級数の問題です。

1.(奈良県立医大)
nは自然数とする.白球がn個,赤球が1個入った袋がある.この袋から1個球を取り出し,球の色を確認してもとに戻す.このとき,次の問いに答えよ.ただし,必要ならば,\displaystyle{\lim_{h \to 0}}(1+h)^{\frac{1}{h}}=eは用いてよい.
(1) kを自然数とする.k回目に初めて赤球を取り出す確率をp_n(k)とするとき,p_n(k)n,~kを用いて表せ.
(2) F_n=\displaystyle{\sum_{k=n}^{\infty}}p_n(k)とするとき,極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}F_nを求めよ.
(3) E_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}kp_n(k)とするとき,極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{E_n}{n}を求めよ.

2.(大阪大)
袋の中に白球が1個,赤球が2個入っている.この状態から始めて,次のような試行をくりかえす.袋の中から無作為に球を1個取り出し,それが白球であれば袋の中に戻し,赤球であればそれを戻さずに代わりに白球を2個袋の中に入れる.kを2以上の自然数とする.ただし,0<a<1をみたす数aに対し\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}na^n=0であることは用いてよい.
(1) ちょうどk回の試行の後に,袋の中の球の個数が始めて5になる確率p(k)を求めよ.
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}}kp(k)を求めよ.

3.(東北大)
1からnまでの数字を1つずつ書いたn枚のカードが箱に入っている.この箱から無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し,箱に戻すという操作を繰り返す.ただし,k回目の操作で直前のカードと同じ数字か直前のカードよりも小さい数字のカードを取り出した場合に,kを得点として終了する.
(1) 2 \leqq k \leqq n+1を満たす自然数kについて,得点がkとなる確率を求めよ.
(2) 得点の期待値をnで表した式をf(n)とするとき,f(n)および極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}f(n)を求めよ.

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