無限級数2

等差×等比数列の級数の問題です。

1.(広島大)
次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数nに対して,2^n>nであることを示せ.
(2) 数列の和S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}k\left(\dfrac{1}{4}\right)^{k-1}を求めよ.
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}S_nを求めよ.

2.(杏林大)
(1) x \ne 1のとき,S_n=1+2x+3x^3+\cdots+nx^{n-1}を求めよ.
(2) 無限級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}nx^{n-1}の収束,発散を調べて,収束する場合にはその和を求めよ.ただし,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}nx^{n}=0~(|x|<1)を用いてよい.

3.(東京工業大)
数列\{a_n\} (ただしa_m=mとする)に対し,b_n=\displaystyle{\sum_{m=1}^{n}}a_mとおく.
(1) 0<r<1とするとき,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}nr^n=0および\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}n^2r^n=0となることを証明せよ.
(2) S_m=a_1r+a_2r^2+\cdots+a_mr^m,~T_n=b_1r+b_2r^2+\cdots+b_nr^nとおくとき,\displaystyle{\lim_{m \to \infty}}S_mおよび\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}T_nを求めよ.

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