無限級数3

2017年12月12日

階差数列、階比数列の級数の問題です。

1.(東北大)
p0<p<1を満たす実数とする.数列\{a_n\}は,a_1=1および関係式\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{a_{n+1}}+p~(n=1,~2,~3,~\cdots)を満たすものとする.
(1) n \geqq 2のとき,a_nを求めよ.
(2) \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}na_n=20であるとき,pの値を求めよ.

解答

2.(東北大)
数列\{a_n\}を次のように定める.
\left\{\begin{array}{l} a_1=1\\ a_{n+1}=\dfrac{3n-1}{3n+5}a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots) \end{array}\right.
このとき,一般項a_nと級数の和S=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_nを求めよ.

3.(関西大)
a_1=1,~a_n=\dfrac{a_{n-1}}{(2n-1)a_{n-1}+1}~(n=2,~3,~\cdots)で定義される数列\{a_n\}がある.
(1) a_nnを用いて表せ.
(2) b_n=\dfrac{1}{\sqrt{a_1a_n}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2a_{n-1}}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{a_ka_{n-k+1}}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{a_na_1}}nを用いて表せ.
(3) 無限級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{1}{b_n}の和の値を求めよ.

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