無限級数4

2017年12月12日

分数式の級数の問題です。

1.(津田塾大)
(1) mを自然数とする.\displaystyle{\sum_{n=m}^{\infty}}\dfrac{1}{n(n+1)}を求めよ.
(2) \dfrac{1}{2}<\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}}\dfrac{1}{n^2}<1を示せ.

2.(東京理科大)
数列\{a_n\}は,初項が7で公差が2の等差数列で,数列\{b_n\}は,初項が\dfrac{1}{3}で公比が\dfrac{1}{3}の等比数列である.また,数列\{c_n\}は,\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}a_kb_kc_k=\dfrac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+3)を満たす数列とする.
(1) c_1を求めよ.
(2) n \geqq 2に対して,c_nnの式で表せ.
(3) n \geqq 2のとき,\dfrac{1}{c_n}=\dfrac{1}{d_{n-1}}-\dfrac{1}{d_n}を満たす数列\{d_n\}の一般項d_nnの式で表せ.ただし,d_1=9とする.
(4) S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{c_k}nの式で表せ.そして,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}S_nを求めよ.

解答

3.(神戸大)
a,~bを実数とし,自然数kに対してx_k=\dfrac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)}とする.
(1) x_k=\dfrac{p}{k}+\dfrac{q}{k+1}+\dfrac{r}{k+3}がすべての自然数kに対して成り立つような実数p,~q,~ra,~bを用いて表せ.
(2) b=0のとき,3以上の自然数nに対して\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}x_kを求めよ.また,a=0のとき,4以上の自然数nに対して\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}x_kを求めよ.
(3) 無限級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}}x_kの和を求めよ.

4.(杏林大)
次の無限級数の収束,発散を調べ,収束するものについてはその和を求め,発散するものについてはその理由を求めよ.
(1) \dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}+\cdots
(2) 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}+\cdots
(3) \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{5}+\cdots+\dfrac{n}{n+1}-\dfrac{n+1}{n+2}+\cdots

5.(神戸大)
次の無限級数の収束,発散を調べ,収束するものはその和を求めよ.
(1) 2-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{3}+\cdots+\dfrac{n+1}{n}-\dfrac{n+2}{n+1}+\dfrac{n+2}{n+1}-\cdots
(2) \left(2-\dfrac{3}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{n+1}{n}-\dfrac{n+2}{n+1}\right)+\cdots

6.(九州大)
(1) n \geqq 6かつ3 \leqq k \leqq n-3のとき,_n\mbox{C}_k \geqq {_n\mbox{C}_3}であることを示せ.
(2) n \geqq 6のとき,次の不等式を示せ.
\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}}\dfrac{1}{_n\mbox{C}_k} \leqq \dfrac{2}{n}+\dfrac{10n-38}{n(n-1)(n-2)}
(3) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}}\dfrac{k+1}{_n\mbox{C}_k}を求めよ.

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