無限級数5

2017年12月12日

4の続きです。

1.(岩手大)
(1) n桁の自然数のうち,各位の数字が全て1と異なるものの個数を求めよ.
(2) 自然数の逆数からなる級数
1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{m}+\cdots
から,分母に数字1が現れる項を全て除いて得られる級数
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{22}+\dfrac{1}{23}+\cdots
の和は,40を超えないことを示せ.

解答

2.(防衛医大)
A_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)とおくとき,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(A_n-\log n)=Cとなることが知られている.ただし,\log nは自然対数で,Cは正の定数である.これを利用して,B_n=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}~(n=1,~2,~3,~\cdots)とおくとき,数列\{B_n-K\log n\}が収束するように定数Kの値を定めよ.また,極限値をCを用いて表せ.

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