無限級数6

その他よく出題される級数の問題をいくつか。

1.
(1) 級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}の収束,発散を調べ,収束するときはその和を求めよ.
(2) 無限級数\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}}\dfrac{k}{(k+1)!}の和を求めよ.

2.(神戸商船大)
(1) kを自然数とする.不等式\sqrt{k}+\sqrt{k-1}<2\sqrt{k}<\sqrt{k+1}+\sqrt{k}を用いて,\sqrt{k+1}-\sqrt{k}<\dfrac{1}{2\sqrt{k}}<\sqrt{k}-\sqrt{k-1}を示せ.
(2) nを自然数とする.不等式\sqrt{n+1}-1<\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{2\sqrt{k}}<\sqrt{n}を示せ.
(3) 極限値\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{\sqrt{kn}}を求めよ.

3.(高知女子大)
(1) 無限級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)は発散することを示せ.
(2) 無限級数\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}}\log\left(1+\dfrac{1}{n^2-1}\right)は収束することを示し,その級数の和を求めよ.

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