無限級数７

級数と収束についての問題です。

１．(富山大)
級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_nについて，
(1) 「級数が収束すれば，\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=0」であるということを証明し，この命題の対偶を述べよ．
(2) a_nがそれぞれ次のとき，級数の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ．
(ⅰ) a_n=\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}
(ⅱ) a_n=\dfrac{n}{n+1}

２．(北海道大)
(1) 数学的帰納法により次の不等式を証明せよ．ただし，n=1,~2,~3,~\cdotsとする．
\displaystyle{\sum_{k=1}^{2^n}}\dfrac{1}{k} \geqq \dfrac{n}{2}+1
(2) 次の命題は真か偽か．真ならば証明し，偽ならばその例をあげ理由を説明せよ．
\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(a_{n+1}-a_n)=0ならば数列\{a_n\}は収束する．

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数学Ⅲ　数列の極限収束, 級数

Posted by 山彦のフドウ