無限級数7

級数と収束についての問題です。

1.(富山大)
級数\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_nについて,
(1) 「級数が収束すれば,\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n=0」であるということを証明し,この命題の対偶を述べよ.
(2) a_nがそれぞれ次のとき,級数の収束,発散を調べ,収束するときはその和を求めよ.
(ⅰ) a_n=\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}
(ⅱ) a_n=\dfrac{n}{n+1}

2.(北海道大)
(1) 数学的帰納法により次の不等式を証明せよ.ただし,n=1,~2,~3,~\cdotsとする.
\displaystyle{\sum_{k=1}^{2^n}}\dfrac{1}{k} \geqq \dfrac{n}{2}+1
(2) 次の命題は真か偽か.真ならば証明し,偽ならばその例をあげ理由を説明せよ.
\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(a_{n+1}-a_n)=0ならば数列\{a_n\}は収束する.

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