場合の数

数え上げの問題です。もれやダブりに注意しつつ、数え上げの和の法則、積の法則をマスターして下さい。

1.(早稲田大)
数直線上に35以下の自然数を座標とする点が35個並んでいる.同じ点を選ぶことを許して,最初に選んだ数をmとし,2番目に選んだ数をnとする.
(1) |m-n| \leqq 3である場合の数を求めよ.
(2) m+n \geqq 31かつ|m-n| \leqq 3である場合の数を求めよ.

2.((1) 早稲田大 (2) 防衛医大)
(1) 10ユーロ,20ユーロ,50ユーロの紙幣を使って支払いする.ちょうど50ユーロ支払う方法は(  )通りある.また,ちょうど200ユーロ支払う方法は(  )通りある.ただし,どの紙幣も十分な枚数を持っているものとし,使わない紙幣があってもよいものとする.
(2) 500円玉3枚,100円玉4枚,50円玉3枚がある.これらを使って支払うことができる金額は全部で何通りあるか.ただし,0円は含めないものとする.

3.((1) 青山学院大 (2) 早稲田大)
(1) 赤,青,白の3個のさいころを投げたとき,可能な結果は全部で(  )通りあり,このうち赤と青の目が等しい場合は(  )通り,赤と青の目の合計が白の目より小さい場合は(  )通りある.
(2) 異なる3個のさいころを同時に投げたとき,目の和が5の倍数になる場合は(  )通りである.

4.(横浜市立大)
(1) 条件1 \leqq a \leqq b \leqq 3,~1 \leqq a<c \leqq 3を満たす自然数の組(a,b,c)の個数を求めよ.
(2) nを自然数とする.条件1 \leqq a \leqq b \leqq n,~1 \leqq a<c \leqq nを満たす自然数の組(a,b,c)の個数を求めよ.

5.(名古屋大)
自然数nに対して,不等式0 \leqq a \leqq 2b \leqq c \leqq nを満たす整数の組(a,b,c)の個数をP(n)とする.
(1) P(5)を求めよ.
(2) 奇数nに対して,P(n)を求めよ.

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