完全順列

2017年2月27日

完全順列の問題です。完全順列は攪乱順列やモンモールの問題などとも呼ばれます。まずは準備から。

1.((1) 東京農工大)
(1) 5個の数字1, 2, 3, 4, 5の全部を一列に並べてつくる5桁の整数のうち,万の位に1が来ることも千の位に2がくることもないようなものは何通りあるか.
(2) 6つの数字1, 2, 3, 4, 5, 6の順列p_1,~p_2,~p_3,~p_4,~p_5,~p_6のうち,p_1 \ne 1かつp_2 \ne 2かつp_3 \ne 3であるような順列の個数を求めよ.

完全順列の問題です。まずは5個の場合。

2.(東京農業大)
1, 2, 3, 4, 5の順列a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~a_5のうちで,a_1=2,~a_2 \ne 2,~a_3 \ne 3,~a_4 \ne 4,~a_5 \ne 5を全部満たすものは何通りあるか.また,a_1 \ne 1,~a_2 \ne 2,~a_3 \ne 3,~a_4 \ne 4,~a_5 \ne 5を全部満たすものは何通りあるか.

次に一般の場合。

3.(名古屋市立大)
1からnまでの番号が1つずつ書かれたn枚のカードがある.次の条件を満たすように左から右にn枚を並べる場合の数をC(n)とする.
条件:1からnまでのすべての自然数kについて,左からk番目に番号kのカードがこない.
(1) C(4)を求めよ.
(2) C(6)を求めよ.
(3) n \geqq 3について,C(n+2)n,~C(n),~C(n+1)を用いて表せ.

解答

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