完全順列

2017年2月5日2017年2月27日

完全順列の問題です。完全順列は攪乱順列やモンモールの問題などとも呼ばれます。まずは準備から。

１．((1) 東京農工大)
(1) 5個の数字1, 2, 3, 4, 5の全部を一列に並べてつくる5桁の整数のうち，万の位に1が来ることも千の位に2がくることもないようなものは何通りあるか．
(2) 6つの数字1, 2, 3, 4, 5, 6の順列 $p_1,~p_2,~p_3,~p_4,~p_5,~p_6$ のうち， $p_1 \ne 1$ かつ $p_2 \ne 2$ かつ $p_3 \ne 3$ であるような順列の個数を求めよ．

完全順列の問題です。まずは5個の場合。

２．(東京農業大)
1, 2, 3, 4, 5の順列 $a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~a_5$ のうちで， $a_1=2,~a_2 \ne 2,~a_3 \ne 3,~a_4 \ne 4,~a_5 \ne 5$ を全部満たすものは何通りあるか．また， $a_1 \ne 1,~a_2 \ne 2,~a_3 \ne 3,~a_4 \ne 4,~a_5 \ne 5$ を全部満たすものは何通りあるか．

次に一般の場合。

３．(名古屋市立大)
1から $n$ までの番号が1つずつ書かれた $n$ 枚のカードがある．次の条件を満たすように左から右に $n$ 枚を並べる場合の数を $C(n)$ とする．
条件：1から $n$ までのすべての自然数 $k$ について，左から $k$ 番目に番号 $k$ のカードがこない．
(1) $C(4)$ を求めよ．
(2) $C(6)$ を求めよ．
(3) $n \geqq 3$ について， $C(n+2)$ を $n,~C(n),~C(n+1)$ を用いて表せ．