組合せ１

2017年2月5日2017年3月31日

組合せの問題です。

１．(法政大)
正八角形ABCDEFGHについて，
(1) 3つの頂点を結んでできる三角形の総数を求めよ．
(2) 3つの頂点を結んでできる三角形で，正八角形と共有する辺をもつものの総数を求めよ．
(3) 4つの頂点を結んでできる四角形で，正八角形と共有する辺をもつものの総数を求めよ．

２．(日本大)
(1) 正十二角形の頂点を結んで得られる三角形の総数は(　　)個である．その中で直角三角形は(　　)個，正三角形は(　　)個，鋭角三角形は(　　)個である．
(2) 半径 $r$ の円に内接する正十二角形の頂点を結んで得られる鋭角三角形の面積の総和は(　　)である．

３．(首都大)
$P$ は正 $n$ 角形 $(n \geqq 6)$ とする．
(1) $P$ の異なる2本の対角線の組で， $P$ の頂点を共有するものは何通りあるか．
(2) $P$ の異なる2本の対角線の組で， $P$ の頂点以外の点を共有するものは何通りあるか．
(3) $P$ の異なる2本の対角線の組で，共有点をもたないものは何通りあるか．

４．(大阪府立大)
$n$ を3以上の自然数とする．正 $n$ 角形の頂点から相異なる3点を選んで三角形を作るとき，その三角形が二等辺三角形となる場合の数を $a_n$ とする．
(1) $a_6,~a_7$ をそれぞれ求めよ．
(2) 自然数 $k$ に対して， $a_{6k},~a_{6k+1}$ をそれぞれ $k$ を用いて表せ．

５．(京都大)
正 $n$ 角形の頂点を順に $\mbox{A}_1,~\mbox{A}_2,~\cdots,~\mbox{A}_n$ とする．これらの中の3点を結んでできる三角形のうち，鋭角三角形になるものの総数を求めよ．

６．(大阪大)
半径1の円周上に， $4n$ 個の点 $\mbox{P}_0,~\mbox{P}_1,~\cdots,~\mbox{P}_{4n-1}$ が，反時計回りに等間隔に並んでいるとする．ただし， $n$ は自然数である．
(1) 線分 $\mbox{P}_0\mbox{P}_k$ の長さが $\sqrt{2}$ 以上となる $k$ のとり得る値の範囲を求めよ．
(2) 点 $\mbox{P}_0,~\mbox{P}_1,~\cdots,~\mbox{P}_{4k-1}$ のうち相異なる3点を頂点にもつ三角形のうち各辺の長さがすべて $\sqrt{2}$ 以上になるものの個数を求めよ．

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