組合せ3

2の続きです。

1.(北海道大)
3辺の長さがいずれも70より小さい整数で,かつ等差数列になっている三角形は何個あるか.ただし,合同な三角形は区別しないものとする.

2.(神戸大)
a,~b,~cを1以上7以下の自然数とする.次の条件(*)を考える.
(*) 3辺の長さがa,~b,~cである三角形と,3辺の長さが\dfrac{1}{a},~\dfrac{1}{b},~\dfrac{1}{c}である三角形が両方とも存在する.
(1) a=b>cであり,かつ条件(*)を満たすa,~b,~cの組の個数を求めよ.
(2) a>b>cであり,かつ条件(*)を満たすa,~b,~cの組の個数を求めよ.
(3) 条件(*)を満たすa,~b,~cの組の個数を求めよ.

3.(横浜国立大)
nを4以上の偶数とし,長さnの線分ABを考える.この線分上に2点P, Qを4点A, P, Q, Bがこの順に並ぶようにとり,ABを長さが正の整数の3つの線分AP, PQ, QBに分割する.
(1) 線分AP, PQ, QBが三角形の3辺となりうるような点P, Qのとり方は何通りあるか.
(2) nは12の倍数とする.(1)において合同でない三角形は何種類できるか.

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