重複組合せ2

不定方程式の整数解の個数の問題です。

1.(東京理科大)
a,~b,~cを整数とするとき,
(1) a+b+c=10,~a \geqq 1,~b \geqq 1,~c \geqq 1を満たす整数a,~b,~cの組の総数を求めよ.
(2) a+b+c \leqq 10,~a \geqq 1,~b \geqq 1,~c \geqq 1を満たす整数a,~b,~cの組の総数を求めよ.
(3) a+b+c=10,~7 \geqq a \geqq 1,~7 \geqq b \geqq 1,~7 \geqq c \geqq 1を満たす整数a,~b,~cの組の総数を求めよ.

2.(早稲田大)
x,~y,~zの1次方程式x+y+z=2k-1 \cdots①について,次の問いに答えよ.ただし,定数kk \geqq 6を満たす整数である.
(1) 方程式①の整数解(x,y,z)のうち,x>0,~y>0,~z>0をすべて満たすものは全部で何個あるか,kを用いて表せ.
(2) (1)のうち,x \leqq kを満たすものは全部で何個あるか,kを用いて表せ.
(3) (1)のうち,x \leqq k,~y \leqq k+1,~z \leqq k+2をすべて満たすものは全部で何個あるか,kを用いて表せ.

3.(日本女子大)
次の(1), (2), (3)について,それぞれの条件を満たす0または正の整数x,~y,~zの組の個数を求めよ.
(1) x+y+z=10
(2) x+y+z=10 (ただし,x \geqq  y \geqq z)
(3) x+2y+3z=10

4.(一橋大)
正の整数nに対して,n=k+2lを満たすような0以上の整数の組(k,l)の個数をa_nとする.また,n=p+2q+3rを満たすような0以上の整数の組(p,q,r)の個数をb_nとする.
(1) a_nnで表せ.
(2) nが6の倍数のとき,b_nnで表せ.

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