重複組合せ２

2017年2月5日

不定方程式の整数解の個数の問題です。

１．(東京理科大)
$a,~b,~c$ を整数とするとき，
(1) $a+b+c=10,~a \geqq 1,~b \geqq 1,~c \geqq 1$ を満たす整数 $a,~b,~c$ の組の総数を求めよ．
(2) $a+b+c \leqq 10,~a \geqq 1,~b \geqq 1,~c \geqq 1$ を満たす整数 $a,~b,~c$ の組の総数を求めよ．
(3) $a+b+c=10,~7 \geqq a \geqq 1,~7 \geqq b \geqq 1,~7 \geqq c \geqq 1$ を満たす整数 $a,~b,~c$ の組の総数を求めよ．

２．(早稲田大)
$x,~y,~z$ の1次方程式 $x+y+z=2k-1 \cdots$ ①について，次の問いに答えよ．ただし，定数 $k$ は $k \geqq 6$ を満たす整数である．
(1) 方程式①の整数解 $(x,y,z)$ のうち， $x>0,~y>0,~z>0$ をすべて満たすものは全部で何個あるか， $k$ を用いて表せ．
(2) (1)のうち， $x \leqq k$ を満たすものは全部で何個あるか， $k$ を用いて表せ．
(3) (1)のうち， $x \leqq k,~y \leqq k+1,~z \leqq k+2$ をすべて満たすものは全部で何個あるか， $k$ を用いて表せ．

３．(日本女子大)
次の(1), (2), (3)について，それぞれの条件を満たす0または正の整数 $x,~y,~z$ の組の個数を求めよ．
(1) $x+y+z=10$
(2) $x+y+z=10$ (ただし， $x \geqq y \geqq z$ )
(3) $x+2y+3z=10$

４．(一橋大)
正の整数 $n$ に対して， $n=k+2l$ を満たすような0以上の整数の組 $(k,l)$ の個数を $a_n$ とする．また， $n=p+2q+3r$ を満たすような0以上の整数の組 $(p,q,r)$ の個数を $b_n$ とする．
(1) $a_n$ を $n$ で表せ．
(2) $n$ が6の倍数のとき， $b_n$ を $n$ で表せ．

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