組分け1

2017年9月29日

組分けの問題です。まずは、ものも組も区別がある場合です。

1.(滋賀大)
8個の異なる品物をA, B, Cの3人に分ける方法について
(1) Aに3個,Bに2個,Cに3個分ける方法は何通りあるか.
(2) 品物を1個ももらえない人がいてもよいとすれば,分け方は何通りあるか.
(3) A, B, Cがいずれも,少なくとも1個の品物をもらう分け方は何通りあるか.

2.(長崎総合科学大)
すべて色の異なる7個の球がある.
(1) 7個の球から6個の球を取り出して,A, B, Cのケースに2個ずつ入れる方法は何通りあるか.
(2) 7個の球を,A, B, Cのケースに分ける方法は何通りあるか.ただし,各ケースには何個入ってもよいが,それぞれのケースには少なくとも1個は入るものとする.
(3) 7個の球を,3つのグループに分ける方法は何通りあるか. ただし,各グループには何個入ってもよいが,それぞれのグループには少なくとも1個は入るものとする.

最後に一般的な問題です。大学で学ぶ写像にもかかわるテーマですが、写像の言葉を使えば全射や全単射である写像がいくつ作れるかという問題です。

3.(名古屋市立大)
m個所の送信施設を持つA国から,n個所の受信施設を持つB国へ信号を送る.A国の各施設はB国の施設の中のただ1個所にかならず信号を送るものとし,その送受信はいっせいに行われる.いまm \geqq nとし,B国のどの受信施設もA国のどこかの送信施設からの信号を少なくとも1つは受信する場合を考える.このような送信パターンの数をf(m,n)と表す.以下でm,~nを変化させて考えるとき,
(1) n=3のときf(m,3)mを用いて表せ.ただし,m \geqq 2とする.
(2) f(m+1,n)f(m,n)およびf(m,n-1)を用いて表せ.ただし,n \geqq 2とする.
(3) f(m+1,m)mを用いて表せ.

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