組分け2

それぞれの組の個数が決まっている場合です。

1.(東京理科大)
12冊の異なる本を次のように分ける方法は何通りあるか.
(1) 5冊,4冊,3冊の3組に分けるのは,(  )通り.
(2) 4冊ずつ3人の子供に分けるのは,(  )通り.
(3) 4冊ずつ3組に分けるのは(  )通り.
(4) 8冊,2冊,2冊の3組に分けるのは,(  )通り.

2.(神戸大)
(1) 生徒6人から2人ずつの組を3組作る作り方の総数を求めよ.
(2) 生徒14人から2人ずつの組をn組~(n=1,~2,~3,~\cdots,~7)作る作り方の総数をS_nとする.S_nnの式で表せ.
(3) \dfrac{S_{n+1}}{S_n}>1を満たすnをすべて求めよ.
(4) S_nを最大にするnをすべて求めよ.

次にスターリング数にかかわる問題です。早稲田大にも類題があります。

3.(奈良女子大)
(1) 5人の生徒を,A組2人,B組2人,C組1人の3つの組に分ける方法は何通りあるか.
(2) 5人の生徒を,2人,2人,1人の3つの組に分ける方法は何通りあるか.
(3) 5人の生徒を3つの組に分ける方法は何通りあるか.ただし,どの組にも少なくとも1人の生徒が入るものとする.
(4) nkn \geqq kを満たす自然数であるとする.n人の生徒をk個の組に分ける方法の個数をS(n,k)とおく.ただし,どの組にも少なくとも1人の生徒が入るものとする.k \geqq 2のとき,次の等式が成立することを示せ.
S(n+1,k)=S(n,k-1)+kS(n,k)

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