2項定理1

2018年2月17日

2項定理の問題です。

1.(早稲田大)
多項式(\sqrt[3]{3}x+\sqrt{2})^{100}の展開式において,係数が整数である項の個数を求めよ.

解答

2.(上智大)
(\sqrt{2})^nnが奇数のとき無理数である.より一般に,2以上の整数kに対し,(\sqrt[k]{2})^nnkの倍数でないとき無理数である.したがって,2以上の整数kに対し,(\sqrt{2}x+\sqrt[k]{2})^{100}を展開して得られる多項式において,
(1) x^{100}の係数は2の(  )乗,
(2) n=0,~1,~\cdots,~100に対し,x^{n}の係数が整数となるようなnの個数は
k=2のとき(  )個
k=3のとき(  )個
k=5のとき(  )個
k=7のとき(  )個
k=51のとき(  )個
である.

3.(横浜国立大)
nを6以上の自然数とする.(x+1)^nの展開式におけるx^4,~x^5,~x^6の係数がこの順に等差数列をなすとき,nおよびこの等差数列の公差を求めよ.

次は2項定理の係数の成り立ちをもとにした問題です。

4.(近畿大)
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)(x+9)(x+11)(x+13)(x+15)を展開した多項式について
(1) x^7の項の係数を求めよ.
(2) x^6の項の係数を求めよ.

5.(茨城大)
(x+1)(x+2)(x+3) \cdots (x+n)の展開式について,次の問いに答えよ.ただし,nは2以上の整数とする.
(1) x^{n-1}の係数を求めよ.
(2) x^{n-2}の係数を求めよ.

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