2項定理3

2項定理の剰余の問題への応用です。

1.(お茶の水女子大)
次の値の十進数での下5桁を求めよ.
(1) 101^{100}
(2) 99^{100}
(3) 3^{2001}

2.(上智大)
(100.1)^7の百の位の数字を求めよ.また,小数第4位の数字を求めよ.

3.(岐阜大)
2014^{10}に関して,次の問いに答えよ.ただし,必要ならば7^9=40353607および7^{10}=282475249を用いてよい.
(1) 2014^{10}の十の位の数字を求めよ.
(2) 2014^{10}の十万の位の数字を求めよ.
(3) 2014^{10}の上3桁の数字を求めよ.

4.(同志社大)
nを2以上の整数とする.
(1) 2011のn乗を2010で割れば1余ることを示せ.
(2) 2^{4n}-1を17で割ったときの余りを求めよ.
(3) a_n=1+2+2^2+\cdots+2^nと定める.a_{2010},~a_{2011},~a_{2012},~a_{2013}をそれぞれ17で割ったときの余りを求めよ.

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