2項定理5

2項の多項式の累乗の和の展開式の問題です。

1.(一橋大)
m,~nは正の整数であって,整式f(x)=(1+x)^m+(1+x)^nにおけるxの係数は19である.
(1) f(x)において,x^2の係数のとりうる最小値aを求めよ.
(2) f(x)において,x^2の係数が最小になるようにm,~nを定めたとき,x^7の係数bを求めよ.

2.(茨城大)
(1) \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}(x+1)^kxについての多項式に整理したときのx^2の係数を求めよ.
(2) \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}(x+2)^kxについての多項式に整理したときのxの係数を求めよ.

3.(東京理科大)
xに関する多項式\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}(1+x)^kx^7,~x^8,~x^9の係数が,この順で等差数列をなす.このとき,nの値を求めよ.ただし,n \geqq 9とする.

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