2項定理6

2017年3月10日

2項定理のコンビネーションの公式への応用の問題です。

1.(東京理科大)
_n\mbox{C}_rを二項係数とするとき,次の和を求めよ.
(1) _n\mbox{C}_0+_n\mbox{C}_1+_n\mbox{C}_2+\cdots+_n\mbox{C}_n
(2) _n\mbox{C}_1+2_n\mbox{C}_2+3_n\mbox{C}_3+\cdots+n_n\mbox{C}_n
(3) _n\mbox{C}_0+\dfrac{1}{2}{_n\mbox{C}_1}+\dfrac{1}{3}{_n\mbox{C}_2}+\cdots+\dfrac{1}{n+1}{_n\mbox{C}_n}
(4) (_n\mbox{C}_0)^2+(_n\mbox{C}_1)^2+(_n\mbox{C}_2)^2+\cdots+(_n\mbox{C}_n)^2

解答

2.(中央大)
(1) 二項定理を和の記号\sumを用いて記せ.
(2) mを正の整数とする.このとき,\displaystyle{\sum_{k=0}^{m}}{_{2m}\mbox{C}_{2k}}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}}{_{2m}\mbox{C}_{2k+1}}が成り立つことを示せ.
(3) m,~kを正の整数とし,k<mと仮定する.このとき,{_{2m}\mbox{C}_k}<{_{2m}\mbox{C}_m}が成り立つことを示せ.

3.(学習院大)
nを自然数とする.
(1) 等式\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}(-1)^k_n\mbox{C}_k=0を示せ.
(2) k0 \leqq k \leqq nを満たす整数のとき,等式(n+1)_n\mbox{C}_k=(k+1)_{n+1}\mbox{C}_{k+1}が成り立つことを示せ.
(3) 等式\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}\dfrac{(-1)^k}{k+1}{_n\mbox{C}_k}=\dfrac{1}{n+1}を示せ.

4.(熊本大)
(1) 2 \leqq k \leqq nを満たす自然数kについて,
k(k-1)_n\mbox{C}_k=n(n-1)_{n-2}\mbox{C}_{k-2}
を示せ.
(2) \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}k(k-1)_n\mbox{C}_kを求めよ.
(3) \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}{k^2}_n\mbox{C}_kを求めよ.

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