2項定理６

2017年2月5日2017年3月10日

2項定理のコンビネーションの公式への応用の問題です。

１．(東京理科大)
$_n\mbox{C}_r$ を二項係数とするとき，次の和を求めよ．
(1) $_n\mbox{C}_0+_n\mbox{C}_1+_n\mbox{C}_2+\cdots+_n\mbox{C}_n$
(2) $_n\mbox{C}_1+2_n\mbox{C}_2+3_n\mbox{C}_3+\cdots+n_n\mbox{C}_n$
(3) $_n\mbox{C}_0+\dfrac{1}{2}{_n\mbox{C}_1}+\dfrac{1}{3}{_n\mbox{C}_2}+\cdots+\dfrac{1}{n+1}{_n\mbox{C}_n}$
(4) $(_n\mbox{C}_0)^2+(_n\mbox{C}_1)^2+(_n\mbox{C}_2)^2+\cdots+(_n\mbox{C}_n)^2$

→解答

２．(中央大)
(1) 二項定理を和の記号 $\sum$ を用いて記せ．
(2) $m$ を正の整数とする．このとき， $\displaystyle{\sum_{k=0}^{m}}{_{2m}\mbox{C}_{2k}}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}}{_{2m}\mbox{C}_{2k+1}}$ が成り立つことを示せ．
(3) $m,~k$ を正の整数とし， $k<m$ と仮定する．このとき， ${_{2m}\mbox{C}_k}<{_{2m}\mbox{C}_m}$ が成り立つことを示せ．

３．(学習院大)
$n$ を自然数とする．
(1) 等式 $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}(-1)^k_n\mbox{C}_k=0$ を示せ．
(2) $k$ が $0 \leqq k \leqq n$ を満たす整数のとき，等式 $(n+1)_n\mbox{C}_k=(k+1)_{n+1}\mbox{C}_{k+1}$ が成り立つことを示せ．
(3) 等式 $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}\dfrac{(-1)^k}{k+1}{_n\mbox{C}_k}=\dfrac{1}{n+1}$ を示せ．

４．(熊本大)
(1) $2 \leqq k \leqq n$ を満たす自然数 $k$ について，
$k(k-1)_n\mbox{C}_k=n(n-1)_{n-2}\mbox{C}_{k-2}$
を示せ．
(2) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}k(k-1)_n\mbox{C}_k$ を求めよ．
(3) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}{k^2}_n\mbox{C}_k$ を求めよ．

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