2項定理7

2017年3月10日

2項定理の整数問題とくに倍数の問題への応用です。

1.(佐賀大)
(1) 整数n,~rn \geqq 2,~1 \leqq r \leqq nを満たすとする.このとき,r \cdot _n\mbox{C}_r=n \cdot _{n-1}\mbox{C}_{r-1}が成り立つことを示せ.
(2) pを素数とし,整数r1 \leqq r \leqq p-1を満たすとする.このとき,_p\mbox{C}_rpで割り切れることを示せ.
(3) pを3以上の素数とする.二項定理を用いた式(x+1)^p=\displaystyle{\sum_{r=0}^{p}}{_p\mbox{C}_r}x^rを利用して,2^ppで割った余りが2であることを示せ.
(4) pを5以上の素数とする.3^ppで割った余りを求めよ.

解答

2.(慶応大)
(1) (a+1)^5の展開式を求めよ.
(2) (1)を用いて,6^5-15^2の倍数であることを示せ.
(3) 任意の自然数nに対して,「6^{5^{n}}-15^{n+1}の倍数である」が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ.

3.(名古屋大)
m,~pを3以上の奇数とし,mpで割り切れないとする.
(1) (x-1)^{101}の展開式におけるx^2の項の係数を求めよ.
(2) (p-1)^m+1pで割り切れることを示せ.
(3) (p-1)^m+1p^2で割り切れないことを示せ.
(4) rを正の整数とし,s=3^{r-1}mとする.2^s+13^rで割り切れることを示せ.

4.(名古屋大)
k,~m,~nは整数とし,n \geqq 1とする._m\mbox{C}_kを二項係数として,S_k(n),~T_m(n)を以下のように定める.
S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k,~S_k(1)=1~(k \geqq 0)\\ T_m(n)=_m\mbox{C}_1S_1(n)+_m\mbox{C}_2S_2(n)+_m\mbox{C}_3S_3(n)+\cdots+_m\mbox{C}_{m-1}S_{m-1}(n)\\ =\displaystyle{\sum_{k=1}^{m-1}}{_m}\mbox{C}_kS_k(n)~(m \geqq 2)
(1) T_m(1)T_m(2)を求めよ.
(2) 一般のnに対してT_m(n)を求めよ.
(3) pが3以上の素数のとき,S_k(p-1)~(k=1,~2,~3,~\cdots,~p-2)pの倍数であることを示せ.

5.(京都大)
pを素数,a,~bを互いに素な正の整数とするとき,(a+bi)^pは実数でないことを示せ.ただし,iは虚数単位を表す.

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